快捷搜索:

科学知识

当前位置:betway必威官网手机版 > 科学知识 > betway必威官网手机版:数学原理浅谈一下,会有

betway必威官网手机版:数学原理浅谈一下,会有

来源:http://www.abirdfarm.com 作者:betway必威官网手机版 时间:2019-12-08 21:53

(2011 年 4 月 2 日更新:昨天是一年一度的愚人节,故编写了无比欢乐的“新版数学”更新日志作为愚人节笑话,希望大家昨天过了一个开心的愚人节!)

Matrix是一个建立在数学基础上的严整系统,一切都是有规律的,包括特工们和尼奥的超能力在内,都是包含在这个系统中的。而尼奥这个“救世主”的产生,则和数学中的哥德尔命题有关。奥地利数学家哥德尔在1931年发表了题为《论<数学原理> 及有关系统的形式不可判定命题》的论文,其中提出这样一个观点,在任何数学系统中,只要其能包含整数的算术,这个系统的相容性就不可能通过几个基础学派所采用的逻辑原理建立。简单地说,就是在任何系统中,总有些真理是游离于逻辑之外的,这些真理就叫做歌德尔命题。

第二章 欧几里得对毕达哥拉斯定理
(勾股定理)的证明
(公元前约300年)

欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。

问:假如圆周率是有限或是循环的,会有什么细思极恐的影响呢?

国际标准化组织(ISO)宣布,由于数学体系若干内在缺陷给人民生产生活带来不便,数学体系将升级至 2.0 版本。新版本的数学体系修复了大量 bug,并新增了不少特性。

  在Matrix中,尼奥就是在Matrix这个严整系统中不能被数学推得的歌德尔命题,不符合系统的规律。(建筑师对尼奥的谈话中涉及部分)当尼奥重生后,他就担负起系统所有的扰动,所有的规则在他面前都变得透明,因此他能够看到系统中别人所看不到的东西。先知叫尼奥回到源头去终止灾难,在数学逻辑中就是将歌德尔命题变成整个系统的一部分,当作系统的一个变量,从而消除整个系统的不确定性。如果尼奥当初选择了毁灭锡安的门,他所携带的代码将反馈给系统,将系统的稳定性提高到一个新阶段。而这个选择的前提则是系统中没有斯密斯这个狂人。但从数学的角度上来说,这样的稳定也是暂时的,不是对系统的彻底修正,新的系统还是会产生自己的歌德尔命题,从而继续这个轮回。这就是为什么在尼奥之前会有六任救世主的原因。(当然,上帝造世界用了七天,所以需要第七个NEO)

betway必威官网手机版:数学原理浅谈一下,会有何样细思极恐的熏陶啊。欧几里得的《原本》

betway必威官网手机版 1

betway必威官网手机版 2

此次更新包括:

  电影中的特工史密斯实际上就是矩阵这个程序世界中的杀毒程序,他们在矩阵中是没有身体的,由于他们是杀毒程序,所以他们被矩阵赋予了超越常人的能力。在矩阵中他们具有改写人类角色程序的能力,所以可以不断借用他人身体。

  从希波克拉底到欧几里得,其间经历了150年。在这150年间,希腊文明发展并臻于成熟,因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希腊帝国全盛时期,希腊文明都在发展。到公元前300年时,希腊文化的发展已跨越地中海,并扩展到更遥远的世界。在西方,希腊统治至高无上。

欧几里得几何有时单指平面上的几何,即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。

无理数的概念本身就是错误的。假如圆的周长是一个绳子围成,然后把圆环拉直,用一段长度为圆的直径的绳子去截取,截取3段后,剩余的部分就是pai的小数部分,它明明是有限的长度,怎么可能无穷无尽?

[新增]新增定理:黎曼假设为真。

  尼奥最后可以战胜特工,实际上是因为他复活后具有了识别矩阵代码的能力,并可以轻松改写这些代码,所以特工就不能再利用超能力战胜他了。

  在从公元前440年到公元前300年期间,许多伟人都曾为数学的发展作出过不朽的贡献,其中有柏拉图(公元前427—347年)和欧多克索斯(公元前约408—355年),虽然只有后者才是真正的数学家。

欧几里得几何简称“欧氏几何”,是几何学的一门分科。数学上,欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

按照数学的思维,bug很多。比如,有1000米的路,先是5分钟走了500米,然后2.5分钟走了250米,然后1.25分钟走了125米,...依次类推,问走完这1000米总共需要多少时间。

[新增]新增定理:哥德巴赫猜想为真。

  特工史密斯被尼奥消灭后,因为在他被尼奥消灭前明明是他先杀死了尼奥,所以这就导致了一个逻辑错误。因为这种程序上的逻辑运算错误,导致了特工史密斯不但拒绝被系统删除,而且由杀毒程序变成了病毒,最后危害到了整个矩阵世界。

  柏拉图,雅典的伟大哲学家。我们之所以提到他,主要不是因为他对数学的创造,而是因为他对数学的热情和高度评价。柏拉图年轻时在雅典师从苏格拉底,我们对他那位值得尊敬的老师的了解,主要也由此而来。柏拉图曾漫游世界多年,认识了许多伟大的思想家,并形成了他自己的哲学思想体系。公元前387年,他返回他的出生地雅典,并在那里建立起学园。学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。在柏拉图的引导下,希腊学园成为那个时代一流的思想中心。

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中,又分别称为“平面几何”与“立体几何”。

还有,小时候的数学书上,说0不是自然数。如果都不能表示不存在,那么存在又是什么呢?

[新增]新增定理:NP 不等于 P。

  因为这个逻辑错误是由尼奥导致的,所以特工史密斯就变成了和尼奥相对的负极。最后尼奥选择了让史密斯感染自己,在复制过程中矩阵掌握了史密斯的代码,最后才得以将他们两个同时删除,使矩阵回到了平衡。

  在学园众多的学科中,没有一个学科能比数学更受重视。数学的美感和条理与秩序吸引了柏拉图,代表了他心目中未受单调日常生存需求污染的理想的抽象世界。柏拉图认为,数学是锻炼思维的最佳途径,其严密的逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。据说,穿过拱形门楼,进入这一久负盛名的学园,首先映入眼帘的是一行大字:“不懂几何的男子请勿入内”。尽管这一警句带有明显的性别歧视,但却反映了一种观点,即只有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。可以说,柏拉图把几何学看作理想的入学要求,看作一种当时那个时代的学术能力测验。

betway必威官网手机版 3

其实,本身很简单的问题,往往被思维定势,被复杂化。

[新增]新增证明方法:维基法。如果维基百科认为一个命题为真,则这个命题为真。

  奥地利数学家哥德尔在1931年发表了题为《论<数学原理> 及有关系统的形式不可判定命题》的论文,其中提出这样一个观点,在任何数学系统中,只要其能包含整数的算术,这个系统的相容性就不可能通过几个基础学派所采用的逻辑原理建立。简单地说,就是在任何系统中,总有些真理是游离于逻辑之外的,这些真理就叫做歌德尔命题。 比如说大家知道欧几里得的《几何原理》中的第五公设就是平行线公设:两平行线永远不能交于一点。但是打破第五公设,人们仍然可以建立完整的罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等等非欧几何,并且在现代物理中都有重要的应用。 一本《几何原理》可以由五个公设推出所有的定理,环环相扣,逻辑严密。没有任何“人为”的痕迹,尽管最后发现“第五公设”基础是不坚实的,但中间的逻辑是清楚地,推演是严密的。

  虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下,但希腊学园的确培养了许多颇有才华的数学家,其中一个无可争辩的伟大数学家就是尼多斯的欧多克索斯。欧多克索斯在学园创建初期就来到雅典,并直接聆听过柏拉图的演讲。欧多克索斯的贫困迫使他不得不居住在雅典的郊区比雷埃夫斯,每日往返于学园和比雷埃夫斯之间,成为最早的通勤者(虽然我们不能确切知道,他是否需要支付远郊车费)。在他后来的生涯中,他曾到过埃及,后来又返回他的出生地尼多斯。在这期间,他注意吸收新的科学发现,并不断扩充科学的疆界。欧多克索斯对天文学尤其感兴趣,他对月球和行星的运动做出了深入的解释,在16世纪哥白尼革命之前,其学说颇有影响。他从不接受对自然现象的天命的或神秘的解释,相反,他主张对自然现象进行观察,并作出理性的分析。因此,托马斯·希思爵士曾称道说:“如果当时有科学家的话,他称得起是其中一个。”

其中公理五又称之为平行公设(Parallel Postulate),叙述比较复杂,并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利人波尔约阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”(non-Euclidean geometry)。

目前圆周率已经被各种严密的数学工具证明为无限不循环的值。但还不是很肯定是否为正规数。也就是说,圆周率小数点后的每个固定的十进制数字出现的概率是否为十分之一。

[新增]新增证明方法:课后练习法。证明过程可以用“留给读者作为练习”替代。

  后来,数学家对个别命题的演绎证明逐渐转向了对整个数学的研究。此后很长一段时间,大家在努力构造一个完备的数学体系,包容所有的真理命题,使得所有存在命题可以通过此体系彼此证明出来。但歌德尔这位天才逻辑学家 数学家 理论物理学家在一个形式化的算术体系中构造出了命题G:“G是不可证明的。”这是一个不可判定的命题。(假设G是不可证明的,则G为真,由命题真与命题可证明等价,则G可证明;假设G可证明,则G为真,则G不可证明。)从而也就证明了不完备性定理 Ⅰ)歌德尔第一定理对于包含自然数系的任何相容(彼此矛盾的陈述不同时为公设集所包含)的形式体系F,存在F中的不可判定命题,即存在F中的命题S,使得S和非S都不是在F中可证明的。 Ⅱ)歌德尔第二定理对包含自然数系的任何相容的形式体系F,F的相容性不能在F中被证明。 这样歌德尔就说明了“人类智慧没有能力公式化它的所有数学直觉,它只能用公式表达出它们中的一些” ,而非全部。数学上总是存在着无法用理性证明的直觉,数学远非一大堆毫无生气可言的枯燥的逻辑堆砌,人类理性根本上也是不可能建立这种程式化的逻辑的。同时人类在处理包含思维的抽象体系时有极大的局限性,因为人的理性乃是根植于这个体系中的,人无法超越这个体系来理性地审视思维本身。歌德尔定理认识到了理性的局限性,人永远不能超越理性来认识理性。

  据认为,欧多克索斯对数学作出了两大贡献,其一是比例论,其二是穷竭法。毕达哥拉斯派曾因发现不可通约量而陷入绝境,而欧多克索斯的比例论则对走出这种绝境提供了逻辑依据。毕达哥拉斯派的绝境在有关相似三角形的几何定理中尤为明显,这些定理最初是根据一种假设论证的,即任何两个量都是可公度的。当这一假设被推翻后,几何学中一些最重要的定理也随之瓦解。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。也即,人们虽然相信这些定理是正确的,但他们却拿不出有力的证据来支持他们的观点。正是欧多克索斯发明的比例论为人们提供了这一长期寻觅的证据。他的理论自然使希腊数学界人士如释重负。我们如今可以在欧几里得的《原本》第五篇中找到欧多克索斯的理论。

另一方面,欧几里得几何的五条公理并未具有完备性。例如,该几何中有定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统。

如果圆周率是有限的,就证明我们整套数学逻辑推理系统就出现了问题,或许会引发第四次数学危机,不过这种假设是不存在的。

[新增]支持尺规作图三等分角。

  欧多克索斯的另一个伟大贡献,即穷竭法,可以直接应用于确定更加复杂几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是,用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形,而每一次逼近,都比前一次更加近似于原图形。例如,我们可以认为,圆形是包含在一曲线里的图形,因而也是一种非常难于解出的平面图形。但是,如果我们在圆内作一个内接正方形,然后再把正方形的每条边一分为二,使之成为八边形,再把八边形的每条边平分,使之成为16边形,等等,依次进行,我们就可以得到一个非常近似于圆形面积的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说,这个多边形从内部“穷竭”了圆。

betway必威官网手机版 4

圆周率如果是循环的值,那最大的一个的好处就是便于人类记忆。

[新增]支持洛必达法则在非 0/0 和 ∞/∞ 型式子中的应用。

  实际上,这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程,我们将在第四章看到。阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯,而且还认为他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的三分之一”,这决不是一个无足轻重的定理。熟悉高等数学的读者都会承认,穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱,同时也是微积分的中心。欧多克索斯的贡献意义十分深远,人们一般认为他是仅次于最伟大的数学家阿基米德本人的古希腊卓越数学家。

欧式几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

其实很多人说圆周率包含了宇宙的万事万物的信息,因为所有信息都可以二进制话,而二进制又可以转变成十进制。而圆周率是无限不循环的。这就意味着iOS系统的冗杂的底层代码也会包含在圆周率中。

[新增]优化了分形图形。现在分形图形更加平滑,可以进行快速渲染。

  公元前四世纪的最后30年,马其顿国王亚历山大大帝即位,并出发征服世界。公元前332年,亚历山大大帝征服埃及,随之在尼罗河口建亚历山大城。这座城市发展极为迅速,据说在其后30年间,人口已达50万。而更为重要的是,在这座城市中建立了宏大的亚历山大图书馆,这座图书馆很快便取代了希腊学园,成为世界的学术重镇。亚历山大图书馆藏有600,000多部纸莎草纸文稿,其藏书之丰超过了当时世界上的任何一个图书馆。的确,在整个希腊和罗马统治时期,亚历山大城始终是地中海地区的思想中心,直到公元641年被阿拉伯人摧毁。

欧式几何的五条公理是:

其中这个道理类似于一只猴子随便敲击键盘,只要时间足够长,总会敲出一本圣经的内容来。

[新增]优化了无穷级数。你可以在任何条件下使用等式 1 2 3 4 … = -1/12。

  公元前约300年,在亚历山大城吸引的众多学者中,有一位名叫欧几里得。他来到亚历山大城,创办了一所数学学校。我们对欧几里得的生平和他到达非洲海岸前后的情况都知之甚少,但他似乎曾在希腊学园接受过柏拉图弟子的训导。不管情况是怎样的,欧几里得的影响十分深远,实际上,所有后来的希腊数学家都或多或少地与亚历山大学校有过某种联系。

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

在逻辑上,所有有限的事物总为被包含在无限的随机数中。

[新增]增加了费马所读书籍页面边缘的空白面积。

  欧几里得在数学史上声名显赫,得益于他编纂的《原本》。这部著作对西方思想有着深远的影响,人们一个世纪又一个世纪地研究、分析和编辑此书,直至现代。据说在西方文明的全部书籍中,只有《圣经》才能够与欧几里得的《原本》比美。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

但是圆周率真的包含宇宙的一切信息吗?

答案是否定的,圆周率是个经典的无理数。而无理数还有无数个。严格来说,所有的长度在逻辑上都是无理数,比如你可以永远把一个东西无限精确测量。当然理论上测量的精度会无限趋近普朗克长度。

除了圆周率,根2也是典型的无理数。两个都是无限不循环的数,试问圆周率会包含根2吗?

答案是不会的,圆周率包含的信息必须是有限值,而无限的圆周率不会包含无限的根2。而大自然真实存在的数值几乎都是无理数,整数只是理想模型。

这样看来,圆周率只是包含宇宙信息的极小一部分。所有有关无限的事物,圆周率都不会包含进去。而真实的宇宙基本都是无限的信息。比如你的体重,你的身高等严格来说都是无限精确值。

著名猫界数学家薛丁谔曾经提出过:当我们把一个圆关在隔离外界,里面有一个开关圆撞到就能切出圆的直径箱子里,当我们把圆的周长除以直径就会得到π,π是一串很长的…。那么π的最后一位数是什么?是0还是1、2、3……?

他的学生A先算:是3,最后一位数是3。

薛丁谔摇了摇车头

学生B又算:是1

:不对

学生C:我算出来了π是3.14,最后一位是4。

:错了

薛丁谔思考后,得出结论

当我们不去算π的时候,π的最后一位数可能是1、也可能是4、或者或者是0,就是说我们不去算的时候π的最后一位,其最后一位数会是0、1、2、3…9,当我们去算的时候π的最后一位数就确定了…。

圆周率是无限不循环的无理数,它是周长与直径的比值。现在算不出来,以后也不会有尽头。

如表盘是圆,时针是直径,时针转一圈就是π。虽说时针走了一圈,有了终点,但已不是原来的时间。周而复始,起点既终点。

我认为圆就是空间。而直径是这个空间中的物体,你、我、地球、太阳、银河系……任何物体。那么圆周率就是时间。物体在空间中存在多久,就是圆周率的终点。如果圆周率算尽,如果你掌控了时间,你会怎样!

首先,需要强调一点,早在1760年,圆周率就已经被数学家证明是无理数。此后,又有不少数学家通过各种不同的方法进一步证明了圆周率确实是一个无理数。因此,无论如何计算,都不可能把圆周率算尽,这不是计算能力不足的问题。

另外,圆周率是无理数也与进制的选择无关。无论是十进制还是二进制,或者说十六进制,圆周率都是一个无限不循环的小数。也就是说,圆周率是无理数是这个宇宙的客观事实,并非是人类臆想出来的。如果外星文明存在,他们也会得出相同的结论。

倘若圆周率真像题主所说的那样是有限的,或者说循环的,这意味着圆周率可以用分数来表示,它成了一个有理数。在这种情况下,表明人类已知的数学公理失效了,几何也会变得混乱。不仅如此,物理学的基本定律可能也会有很大的不同,因为不少的物理学常数与圆周率有关。或许稳定的电子轨道不会存在,这将导致没有稳定的原子和分子,结果就不可能会产生物质和生命,最后不会有谁来认识到圆周率是有理数。

如果假设圆周率是有理数的情况下,世界还能照常运行,那么,数学将会迎来一个新的黄金时代。因为圆周率不是无理数意味着集合论的基本原理——策梅洛-弗兰克尔公理(ZFC公里)矛盾了,人类两千多年来构建的数学体系将要重新审视,数学中最基础的部分将要推倒重来。

不过,数学不像科学。数学的陈述是绝对正确的,从公理推导出来的东西不会有错。圆周率在这个宇宙中就是无理数,无论怎样都无法改变这一最基本的事实。

首先,圆周率是一个无理数,即无限不循环小数,目前学术界统一认为圆周率不可能算尽。

为了回答题主的问题,我们假设圆周率是有限或者是循环的,对人类有什么影响。

[修正]修正了巴拿赫-塔斯基复制漏洞。

betway必威官网手机版:数学原理浅谈一下,会有何样细思极恐的熏陶啊。  得到人们高度评价的《原本》是一部大型汇编书籍,全书分为13篇,465个命题,其涉及范围,从平面几何、立体几何到数论,无所不包。今天,人们一般认为,在所有这些定理中,只有比较少的一部分是欧几里得本人创立的。尽管如此,但从整个希腊数学体系来看。他毕竟创造了一个数学宝库,它是如此的成功,如此的受人尊崇,以致于所有前人的类似著作都相形见绌。欧几里得的著作很快就成为了一种标准。如此一来,如果一个数学家说到1.47,就只能意为《原本》第一篇第47命题,而无须解释我们所说的是《原本》,犹如人们一提到“I《列王记》7∶23”,就知道说的是《圣经》一样。

3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

如果圆周率是有限的或是循环的

如果圆周率是有限的,那么首先人类对于世界的认知从个别的无限变为绝对的有限。

圆周率的数值并不仅仅代表着数学上的成就,在物理学方面也有着重要的影响力。为我们探索宇宙间的奥秘提供了基础条件。甚至毫不夸张的说,这个世界上所有的机密,文字编码都存在于这一串无穷无尽的数字当中。

如果有一天,我们发现圆周率是有限或是循环的,那也就是说整个宇宙对于我们来讲都不会再是秘密,我们人类可以通过它,掌握这世间存在的所有规律,创造出我们想要的一切;

如果将圆周率是有限或是循环的,掌握了全部的变化规律,我们所生活的世界极有可能发生翻天覆地的变化,甚至有可能会推翻现在所有的科学理论。

[修正]修正了停机问题不可判定的问题。

  实际上,这种比较是非常恰当的,因为没有一本书能像欧几里得的大作那样被人看作“数学的圣经”。几百年来,《原本》已出版了2000多个版本,这个数字足以使今天数学教科书的编写家羡慕不已。众所周知,即使在当时,《原本》也获得了巨大的成功。罗马帝国崩溃后,阿拉伯学者将《原本》带到了巴格达。文艺复兴时期,《原本》再度出现于欧洲,其影响十分深远。16世纪的意大利著名学者及100年后年轻的剑桥大学学生艾萨克·牛顿都曾拜读过这部巨著。下面,让我们从卡尔·桑德堡著的亚伯拉罕·林肯传中摘录一段,看一看没有受过什么正规教育的年轻律师林肯是如何磨砺他的推理技能的:

4、所有直角都全等。

科学家的多方论证

不过,经过科学家的多方论证,几乎会不可能会出现圆周率被算尽的情况的,我们的生活也会一切照旧的,大家无需担心。

以上是我对问题“假如圆周率是有限或是循环的,会有什么细思极恐的影响呢?”的回答,欢迎大家在评论中与我交流讨论。

圆周率是大自然从平直转化为弯曲的一个常数,从每一个圆都有一个确的圆周长可知,用确定数值的圆周长除直径2,必能获取确定值的圆周率,只要所求出圆周长不是无理数,那么圆周率也就必然不会是什么理数。本人对圆周率有多年的研究,发现其是有规律可循的。人人都知道,用黄金比例构物作图,使人看上去比例匀称,有美感,圆就是大自然用黄金比例构成的优美几何图形!圆周长与半径的比就是黄金比例6.18:1(0.618:0.1或61.8:10、618:100),已知圆周长为6.18,则圆周率π=C/D=6.18/2=3.09!如何知道圆是由黄金比例构成的呢?首先必须明白圆弧线的构成原理,转折曲线一眼看上去,就知道它是由一段段直线弯曲连接而成的。弧线呢?我们肉眼不能直接看出它也由直线构成,但是有一点是确定的,点没有长度,不能弯曲,就是说,圆必定也像转折曲线那样,由两点连成直线,再以直的线段连接弯曲而成。接下来,就是怎样认识圆周长是以总长的百分之几为直线构成,我们可以从圆内接正多边形来思考这个问题。正多边形只所以总为封闭的转折曲线,是因为它的内角总是小于180度,而任何正多边形的外角之和,都是360度,圆周角正好也是360度,唯一不同,就是圆的内角等于180度,这一点不同,决定了正多边形只能转折弯曲,圆却可以平滑的弯曲!并且转折弯曲只到99边,达到100边,其内角就等于180度,而不是平面几何算出来的176.4度,即正100边形直接过度为圆!大自然没有按前辈数学想当然的思路去作。无限增加圆内接正多边形的边数趋近圆,完全是一个不切实际的空想。大自然让正多边形在100边时“化方为圆"!圆正好是由100个顶角为3.6度的等腰黄金三角形组成,这种三角形腰长与底边的比正好是1:0.0618,100x0.0618=6.18,这是圆为黄金比例构成的真实原因,大家不必担心这些黄金三角形的底边,不能圆滑的弯曲为圆,这种黄金三角形是具有非欧几何性质的三角形,它们的两个底角都是直角,内角和大于180度,只要能明白圆由直线构成,证明这些三角形内角和大于180度,十分容易,只须证明圆上相邻的两个黄金三角形的中线组成的新黄金三角形,与原三角形全等即可。求圆周率必须考虑圆还兼具非欧几何的性质,只在平面几何里兜圈子,方法错误,不可能求得正确圆周率。我只是把物质宇宙构造圆的真像说出来了,信不信由你。许多人都坚信无理数圆周率用得挺好的,那就继续用吧!

细思极恐的事情,我开开脑洞随便说着玩玩啊

1、无理数,无限不循环。但是目前对于圆周率的取值计算到了多少位了?假定为1亿亿亿位开始,它是重复,开始循环,你凭什么说它是无理数?所以无理数只能是一个暂时概念,即以目前的计算能力看来无限不循环的数,是无理数。

2、圆周率是有限和循环的,打破了无理数的定义,也很多自然常数也有可能是一个有限的循环的事值。那现在很多计算不是不能达到完全精确,而只是目前我们没有达到而已。就像显示器,不是照片本身不够清楚,而是分辨率达不到。如果有一天,分辨率达到了极限,我们放大,是不是就可以看到极限小的东西。也就意味着这宇宙最小也是有极限的,最大也是有极限的。既然有极限,那它存在于哪个空间呢,是被制造出来的还是自然产生的呢?

答:圆周率是一个无理数,即无限不循环。

1965年,英国数学家约翰·沃利斯出版了一本有关数学的专著作。在这本著作里,他推导出一个有关圆的公式,证实了圆周率等于无穷个分数相乘得出来的积。

2015年 ,在罗切斯特大学科学家们质子氢原子能级的量子力学计算中,发现了和约翰·沃利斯的数学专著中一模一样的圆周率公式。

圆周率是圆的周长与直径的比值。是用希腊字母π来表示的。π也等于圆形之面积与半径平方之比,是精确计算圆的周长,圆的面积,球的体积,等几何图形的关键值。

在一块古巴比伦石碑上记载了清楚的圆周率=25/8=3.125。就在同一时期古埃及文物,莱茵得数学草纸书中记载也表明圆周率等于16/9的平方。而埃及人似乎更早的就知道了圆周率,例如金字塔的周长和高之比正好等同于圆周率的两倍。

喜欢就关注吧!

有没有可能真是外星文明的降维打击啊?一开始就故意在我们的基础科学里面安的这个bug,让我们一开始就错,而且在错误的道路上越走越远,我们以为一切正确,但永远突破不了他们设定的低等文明范围。就像我们做好的蜂巢一样,蜜蜂以为一切行为都是正确合理的,但其实我们只是为了偷蜂蜜!换一句话说,如果π是有理数,以此为准,那现在的有理数就变成无理数,再重新花一千年(其实也没多长)构建新的数学体系看宇宙万物,也许才能突破我们现有的文明。可能在外星文明或者宇宙真理面前,我们引以为傲的文明发展就是低等和可笑的。越是巨大的错误,基本特点就是在很长时间内都看起来对!

地球的数学就是个错误的计算系统,所以整个对宇宙的认知都被它带跑偏了。因为地球人你们开始认为宇宙是个扁平系统~面,所以数学计算是一线性为基础的,就是数轴式的。这样后来就会出现了有理无理之术~虚实之术。等等~计算方式和计算方法数以万计,变成了一个庞大而复杂的系统。还有许多相悖的计算夹杂其中。各种定理公式猜想假说,说的让宇宙头晕!都是在很古老尚未有开化的老祖认知上继承这来的,也就是规范细化了一下而已。现在你们已经知道了宇宙其实是个“球”,最简单的表述就是“0”(不是你们的数字0)!可以简单的叫他“圆”。圆是球的简化,你们说的一切线的运动其实都是圆!你们如果在这个基础上研究数学,许多东西等会迎刃而解的。至于你们的“圆周率”就是个笑话而已。别忘了你们老祖的“咬着尾巴的蛇”,也别忘了你们老祖的“阴阳鱼”,也可以想想“混沌”。如果你有心和有能力,就开导开导地球数学家,只要数学家明白了“0”,物理学家和化学家就不会去“信上帝”了,也不会去研究“神学”了。你们需要的能量也就很容易的获取了~~呵呵~~哈哈~

[修正]修正了莫比乌斯环只有一面的问题。

  “……购买一部欧几里得的《原本》,这部书已有2300年的历史……(他)在外出巡回出庭时,把书装在他的旅行袋里。晚上……别人都已入睡了,他还在借着烛光研读欧几里得。”

5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。

[修正]修正了函数偶尔会处处连续但处处不可导的问题。

  人们屡屡提及,林肯阅读莎士比亚和《圣经》,文风受到很大影响。同样,他的许多政论文也明显地反映出欧几里得命题的逻辑发展。

第五条公理称为平行公理,可以导出下述命题:

[修正]修正了罗素悖论,现在一个集合可以既包含自身又不包含自身。

  伯特兰·罗素(1872—1970年)对《原本》情有独钟,他在自传中写下了这样一段引人注目的回忆:

通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。

[修正]修正了哥德尔不完备定理,现在所有的命题都可以被证明或者推翻。

  “11岁时,我开始学习欧几里得的书,并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事,犹如初恋般的迷人。”

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不可证的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。

[修正]将圆周率值调整为 3,与《圣经》列王记中的描述“他又铸一个铜海,样式是圆的,高五肘,径十肘,围三十肘”保持一致。

  我们在本章和下一章讨论《原本》时,应该知道,我们是在沿着一条其他许多人业已走过的道路前进。只有极少数的一些经典著作,如《伊利亚特》和《奥德赛》,才有资格共同组成这一文化遗产。我们将要讨论的命题,阿基米德、西塞罗、牛顿、莱布尼兹、拿破仑和林肯都曾研究过。侧身于这一长长的学生名单之中,不免令我们有些忐忑不安。

另外五条公理是:

[修正]由于“负数”一词用字不和谐,现统一改为“非正非零数”。

  欧几里得天赋超人,与其说他创造了一种新的数学,不如说他把旧数学变成一种清晰明确、有条不紊、逻辑谨严的新数学。这绝不是无足轻重的小事。必须认识到,《原本》绝不仅仅只是数学定理及其证明;早至泰勒斯时代,数学家就已对命题作出过论证,而欧几里得对命题作了辉煌的公理化演绎,这是一个根本的区别。在《原本》中,他首先给出要素:23条定义,5条公设和5个公理。这些都是基础,是欧几里得体系的“已知”。他可以在任何时候应用这些要素。利用这些要素,他证明了他的第一个命题。然后,以第一个命题为基础,他可以将他的定义、公设、公理与第一个命题都融合进对第二个命题的证明。如此循序渐进,直至逐条证明所有的命题。

1、等于同量的量彼此相等。

[取消]取消了反证法。

  因此,欧几里得不仅仅作出了证明,更重要的是,他是在这种公理结构中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显,其一就是可以避免循环推理。每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系,并可直接导回原来的公理。懂得计算机的人甚至还能够画出一张流程图,准确显示证明一个特定定理可以应用哪些推导结果。这种证明方法比“投入”法优越得多,因为使用“投入”法,人们总是不清楚以前的哪些推导结果可以应用,哪些不可以应用。而且,在推导过程中,还有一个很大的危险,就是,如果要证明定理A,可能需要应用结果B,但反过来,如果不应用定理A本身,可能又无法证明结果B。这样,就出现了自我相关的“怪圈”,犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学上,显然徒劳无益。

2、等量加等量,其和仍相等。

[取消]取消了四色定理。

  除此以外,公理化还有另一个优点。由于我们能够明确判别任何命题的前一个命题,因此,如果我们需要改变或消除某一基本公设,我们就能够立即觉察出可能会出现哪些情况。例如,如果我们没有应用公设C或根据公设C证明的任何结果,就证明出了定理A,那么,我们可以断言,即使消除公设C,定理A依然正确。这看起来似乎有点儿深奥,但在存有争议的欧几里得第5公设中,恰恰出现了这样的问题,引起了数学史上一次持续时间最长、意义最深远的辩论。我们将在本章的“后记”中详细讨论这一问题。

3、等量减等量,其差仍相等。

[取消]取消了对虚数 i 的支持。

  因此,《原本》的公理化演绎方法是非常重要的。虽然欧几里得没有使之尽善尽美,但它的逻辑极为严密,而且,欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络,所有这些,都使之成为其后所有数学著作的范本。时至今日,在神秘的拓扑学、抽象代数或泛函分析领域,数学家们还是首先提出公理,然后,一步一步地推导,直至建立他们奇妙的理论。而这正是欧几里得谢世2300年后的再现。 

4、彼此能够重合的物体是全等的。

[取消]因审查未通过,“夹逼定理”暂停使用。

第一篇:序 

5、整体大于部分。

此次更新自 2011 年 4 月 1 日起生效,请下发文件立即执行。果壳网死理性派将带领数学爱好者们一道,学习领会新版数学体系的精神,无障碍地由数学 1.0 过渡到数学 2.0 版本!

  在本章中,我们只重点讨论《原本》的第一篇;其后几篇,我们将在第三章讨论。第一篇一开始就提出了一系列互不连贯的平面几何定义。(欧几里得的全部引文均摘自托马斯·希思编辑的百科全书中“欧几里得《原本》十三篇”。)其中一些定义如下:

紧急补充(2012.04.01): 因某些原因,学界对 2.0 版修正法案产生了巨大的分歧,国际标准化组织数学部在今年三月底又重新召开大会,经过严肃的讨论后,于今日发布补丁如下:

  □ 定义1 是没有部分的一种东西。
  □ 定义2 线是没有宽度的长度。
  □ 定义4 直线是其上各点无曲折地排列的线。

[新增]新增定理:钝角等于直角。由于 中国数学家的努力 ,数学界终于承认两千多年前就被发现的几何漏洞。

  欧几里得今天的学生会发现这些定义的措词都是不可接受的,而且,还多少有点儿古怪。显然,在任何逻辑系统中,并非每个名词都是可以定义的,因为定义本身又是由其它名词组成的,而那些名词也必须定义。如果一个数学家试图对每个概念都给出定义,那么,人们一定会批评他在制造一个庞大的循环论证的怪圈。例如,欧几里得所说的“没有宽度”究竟是什么意思?而“各点无曲折地排列”的技术性含义又是什么?

[修正]修正了圆周率的值。经过严格的推导和证明,数学家最近发现,圆周率精确值为4。

  从现代观点来看,一个逻辑系统总是始于一些未经定义的词,而以后所有的定义都与这些词有关。人们肯定会尽力减少这些未定义词的数量,但这些词的出现却是不可避免的。对于现代几何学家来说,“点”和“直线”的概念就始终未经定义。像欧几里得所用的陈述,有助于我们在头脑中形成某些图像,并非完全没有益处;但是,作为准确的逻辑定义来说,这最初的几个词是不能令人满意的。

  所幸他后来的定义却比较成功。其中一些在我们第一篇的讨论中非常突出,值得予以评述。 

  □ 定义10 一条直线与另一条直线相交,如果两个邻角相等,则这两个邻角都是直角,而与另一条直线相交的直线叫做那条直线的垂线。 

  现代读者可能会对此感到奇怪,欧几里得并没有将直角定义为90°角;实际上,在《原本》中,也没有任何一个地方讲到“度”是角的测量单位。在这部书中,唯一有意义的角测量是直角。正如我们所看到的那样,欧几里得将其定义为一条直线上两个相等的邻角之一。

  □ 定义15 是包含在一条线里的平面图形,因此,从圆内某一点出发连到该线的直线都相等。 

  显然,圆内的“某一点”是指圆心,而他所说的相等的“直线”则是半径。

  欧几里得在定义19至22中,定义了三角形(由三条直线包含的平面图形)、四边形(由四条直线包含的平面图形)和一些特定的子类,如等边三角形(三条边都相等的三角形)和等腰三角形(“只有两条边相等”的三角形)。他最后的定义是十分重要的:

  □ 定义23 平行直线是两条在同一平面且向两个方向无限延伸的直线,这两条直线在两个方向上不相交。 

  请注意,欧几里得避免了用“处处等距”的术语来定义平行线。他的定义更为简单,而且少有逻辑陷阱:平行线只是在同一平面且不相交的直线。

  基于这些定义,欧几里得提出了五个几何公设。请不要忘记,这些都是欧几里得体系中的“已知”,是不言自明的真理。他当然对此必须审慎地选择,以避免重叠或内在的不一致。

  公设1 从任一点到任一点〔可〕作一条直线。

  公设2 有限直线〔可〕沿直线无限延长。 

  我们即刻可以看出,这前两个公设恰好可以允许我们用无刻度直尺作图。例如,如果几何学家想用一条直线连接两点(这正是可以用直尺完成的作图),则公设1为此提供了逻辑依据。 

  公设3 给定中心和距离(半径),〔可以〕作一个圆。

  这样,公设3就为以已知点为圆心,以已知距离为半径,用圆规作圆提供了相应的逻辑根据。因此,我们可以说,这前三个公设加在一起,就为欧几里得作图工具的全部用途奠定了理论基础。

  是否确实如此呢?人们只要回想一下自己的几何作图训练,就会想起圆规的另一个用途,即用以将平面上某一部分的固定长度转移到另一部分。具体做法是,已知一条线段,拟在另一处复制其长度。将圆规的尖端放在线段的一端,并将圆规的铅笔端对准线段的另一端;然后,将圆规固定,并拿起圆规,放在需要复制线段的位置。这是一种非常简便,又非常有用的方法。但是,按照欧几里得的规则,这种方法却是不允许的,因为在他的著作中,没有一个地方提出一种公设,允许用这种方法转移长度。因此,数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说,虽然圆规完全有能力作圆(如公设3所保证的),但只要把圆规从平面拿起,圆规就闭拢了,无法再打开。

  造成这种情况的原因究竟是什么?欧几里得为什么不再增加一条公设,以支持这一非常重要的转移长度的方法呢?答案十分简单:他不需要假定这样一种方法作为公设,因为他证明出了这种方法,并将其作为第一篇的第三命题。也就是说,虽然欧几里得的圆规一从纸上拿起来变成“可折叠”的了,但他的确提出了一种十分巧妙的转移长度的方法,并证明了他的方法为什么奏效。欧几里得令人仰慕之处就在于,他尽力避免假定他实际上能够推导出来的公设,因而使他的公设的数目少而且精。

  公设4 所有直角都相等。

  这一公设与作图无关,它提供了一个贯穿于整个欧几里得几何体系的统一的比较标准。定义10引入了直角概念,而现在,欧几里得则假定任何两个直角,不论在平面的什么位置,都相等。基于这一公设,欧几里得提出了一个在希腊数学界引起最大争议的公设: 

  公设5 如果一条直线与两条直线相交,且如果同侧所交两内角之和小于两个直角,则这两条直线无限延长后必将相交于该侧的一点。

  如图2.1所示,这一公设的意思是说,如果a+β小于两个直角,则直线AB与CD相交于右侧。公设5常常被人们称为欧几里得的平行线公设。这显然有点儿用词不当,因为实际上这一公设规定了使两条直线相交的条件,因此,根据定义23,更准确的名称应该叫不平行公设。

betway必威官网手机版 5 

  显然,这一条公设与其它公设完全不同。它的行文较长,而且需要有图帮助理解,似乎远不是那种不证自明的真理。这条公设看来过于复杂,与泛泛而谈的“所有直角都相等”显然不属同一类。实际上,许多数学家都直觉地感到这第5条公设实际上是一个定理。他们认为,正如欧几里得不需要假定可用圆规转移长度,他也不需要假定这样一条公设,他完全可以借助更基本的几何性质证明这一点。有证据表明,欧几里得自己也对这个问题感到有点儿不安,因为他在第一篇的演绎中一直尽力避免应用这一平行线公设。也即,在最初的28个命题中,既然他感到完全可以首先和经常使用其他公设,他就放弃了使用第5条公设。但诚如“后记”中所表明,怀疑是否需要这一公设是一回事,作出实际证明则是另一回事。

  根据这一有争议的公设,欧几里得提出了五个公理,从而完了他的序篇。这五个公理也都是不证自明的真理,但具有更一般的性质,不仅仅只对几何学有效。这些公理是 

  □ 公理1 与同一个东西相等的东西,彼此也相等。
  □ 公理2 等量加等量,总量仍相等。
  □ 公理3 等量减等量,余量仍相等。
  □ 公理4 彼此重合的东西相等。
  □ 公理5 整体大于部分。

  在这五个公理中,只有第4个公理有点儿让人费解。显然,欧几里得的意思是,如果一个图形能够严格不变地从纸上某一位置拿起,放到第二个图形上,两个图形完全重合,则两个图形在各个方面都相等——即它们有相等的角,相等的边,等等。长期以来,人们认为,公理4具有某种几何特征,应该归入公设的范围。

  所有这些就是整个《原本》大厦建筑其上的假设陈述的基础。现在,让我们再来看一看青年伯特兰·罗素在其自传中的另一段回忆:

  “我听说欧几里得证明了一些定理,但看到他从公理入手,感到非常失望。起初,我拒绝接受这些,除非哥哥讲明这样做的道理,但他说,‘如果你不接受它们,我们就无法继续。’我为了能继续学习,勉强接受了它们。” 

第一篇:早期命题 

  在《序》的基础上,欧几里得开始证明他第一篇中的前48个命题。我们在此只讨论那些特别有趣或特别重要的命题,目标是要到达命题I.47和I.48,因为这两个命题是第一篇的逻辑顶峰。

  如果一个人想从一些特定公理开始演绎几何,那么,他的第一个命题应该是什么呢?对于欧几里得来说,这第一个命题就是

  命题I.1 在已知有限直线上作等边三角形。 

  证明 欧几里得开始先作已知线段AB,如图2.2所示。然后,他以A为圆心,以AB为半径,作圆;再以B为圆心,以AB为半径,作第二个圆。当然,这两个圆都应用了公设3,而且,在从纸上拿起圆规时,不要求圆规保持打开状态。设C为两圆交点。欧几里得根据公设1作直线CA和CB,然后,宣布△ABC是等边三角形。因为根据定义15,由于AC和
betway必威官网手机版 6

betway必威官网手机版 7

  这是一个非常简单的证明,只应用了两个公设,一个公理和两个定义,乍一看,似乎很完美。但遗憾的是,这个证明是有缺点的。即使古希腊人,不论他们对《原本》评价多高,也都看出了欧几里得最初论证的逻辑缺陷。

  问题出在C点上。欧几里得如何证明两个圆实际上一定会相交呢?他怎么知道这两个圆不会以某种方法相互通过而不相交呢?显然,由于这是他的第一个命题,他以前并没有证明过这两个圆必然相交。而且,在他的公设或公理中,也都没有提到这个问题。对C点存在的唯一证明就是图中的明确表示。

  但问题就在这里。因为如果说欧几里得想从他的几何中排除什么,那就是代替了证明的对图的依据,根据他自己的基本规则,证明必须建立在逻辑基础上,必须建立在依据公设和公理所做的谨慎的推理基础上,一切结论最终都必须来源于此。欧几里得“让图说话”,就违背了他给自己制定的规则。并且,如果我们想从图中得出结论,我们完全可以根据观察来判明命题1.1,即所作三角形看起来是等边三角形。如果我们求助于这种视觉判断,那么,一切都不再成立。

  现代几何学家认为,需要增加一个公设,以作为判定这两个圆必定相交的理论根据,这一公设有时称之为“连续性公设”。他们还引入了其他公设,以弥补《原本》中这里或那里出现的类似缺陷。本世纪初,数学家戴维·希尔伯特(1862—1943年)依据20个公设演绎出他自己的几何学,堵塞了欧几里得的许多漏洞。因而, 1902年,伯特兰·罗素对欧几里得的著作给予了否定的评价:

  “他的定义并非总是确定的,他的公理也不是都无法证明,他的论证需要许多公理,而他自己却没有意识到。严谨的证明应在没有图形辅助时依然保持其论证的力量,但欧几里得的许多早期证明却不能如此……他的著作作为逻辑名作的价值在很大程度上被夸大了。”

  大家公认,欧几里得在以图像、而不是以逻辑为先导时,他不过是没做应该做的事。而在他全部465个命题中,并没有一处做了不该做的事。他的465个定理,没有一个是虚假的。只要对他的证明作一些小小的改动,并增加一些遗漏的公设,他的全部命题就能够经受住时间的考验。那些赞同罗素观点的人不妨首先将欧几里得的著作与希腊天文学家、化学家或物理学家的著作作一番比较。用现代标准来看,那些古希腊科学家真正是处于原始状态,今天,没有一个人会依据这些古代科学家的著作来解释月球的运动或肝脏的功能。但与此相反,我们经常可以请教欧几里得。他的著作是一项永恒的成就。它无须依赖收集数据或创造更精密的仪器。一切只需敏锐的理性,而欧几里得恰恰高于理性。

  命题I.2和I.3巧妙解决了前面提到的在没有移动圆规的明确公设情况下转移长度的问题;而命题I.4则是欧几里得的第一个全等命题。用现代话说,这一命题就是“边角边”或“SAS”三角形全等模式,对此,读者应回想起中学几何课上学过的知识。命题I.4设定,如果有两个三角形,其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等,则这两个三角形全等(图2.3)。

betway必威官网手机版 8 

  betway必威官网手机版 9后,他拿起△DEF,放到△ABC上,并证明,两个三角形完全重合。这种用叠加方式证明的方法早已不受欢迎。并且,谁能说当图形在纸上移动的时候,它们不会变形或扭曲呢?希尔伯特认识到了这种危险,他实质上已将SAS作为他的公理Ⅳ.6。

  命题I.5确定等腰三角形的两个底角相等。这一定理以“笨人不过桥”著称。之所以有此说法,一则是因为欧几里得的图形有点儿像一座桥;再则是因为,许多差些的学生都难于理解这一定理的逻辑,因此,也就无法跨过这座桥,进入《原本》的其它部分。

  接下来的命题,即命题I.6,是命题I.5的逆命题。该命题确定,如果一个三角形的两个底角相等,则这个三角形是等腰三角形。显然,逻辑学家对定理及其逆定理极感兴趣,所以,欧几里得在证明一个命题后,常常会插入逆命题证明,即使省略或延迟这一证明都不致损害他著作的逻辑。

  欧几里得的第二个三角形全等模式——“边边边”或“SSS”,写入了命题I.8。这一命题确定,如果有两个三角形,其中一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等,则这三条边所对应的两个三角形全等。

  随后的几个命题是作图命题。欧几里得演示了如何用圆规和直尺平分一个已知角(命题I.9)或一个已知线段(命题I.10)。紧跟其后的两个命题则演示了如何作已知直线的垂线,其一是过直线上已知点作垂线(命题I.11),其二是过直线外已知点作垂线(命题I.12)。

  欧几里得下面的两个定理是关于邻角∠ABC和∠ABD的,如图2.4所示。他在命题I.13中证明,如果CBD是一条直线,那么,上述两个角之和等于两个直角;在命题I.14中,他证明了这一定理的逆定理,即,如果∠ABC与∠ABD之和等于两个直角,则CBD是直线。接着,他应用这一角与直线的性质,证明了更为重要的命题I.15。

betway必威官网手机版 10

  命题I.15 如果两条直线相交,则所形成的对顶角相等(图2.5)。

betway必威官网手机版 11 

  证明 因为AEB是一条直线,所以,命题I.13保证了∠AEC
  与∠CEB之和等于两个直角。同样,我们可以说,∠CEB与∠BED
  之和也等于两个直角。公设4称,所有直角都相等,并根据公理1
  和2,得出∠AEC+∠CEB=∠CEB+∠BED。然后,根据公理3,
  从等式两边各减去∠CEB,欧几里得即得出结论,对顶角∠AEC
  和∠BED相等,与命题一致。 证讫。

  这一定理又为我们引出了命题I.16,即所谓外角定理,这是《第一篇》中最重要的定理之一。

  命题I.16 在任何三角形中,一角的外角大于其他两角中的任何一角。

  证明 已知△ABC,延长BC到D,如图2.6所示,我们必须证明∠DCA大于∠CBA或∠CAB。欧几里得先根据命题I.10,平分AC于E,然后,根据公设1,作线段BE。公设2使他可以延长BE,并根据命题I.3,betway必威官网手机版 12

betway必威官网手机版 13

  betway必威官网手机版 14
据命题I.4(即“边角边”或SAS),这两个三角形全等,所以,∠BAE=∠FCE。∠DCA显然大于∠FCE,因为根据公理5,整体大于部分。因此,外角∠DCA大于内对角∠BAC。用同样方法也可以证明∠DCA大于∠ABC。证讫。

  外角定理是一个几何不等式。《原本》中随后的几个命题也是如此。例如,命题I.20确定,三角形任何两边之和必大于第三边。但据我们所知,古希腊伊壁鸠鲁派对这一定理很不以为然,因为他们认为这条定理太通俗,犹如不证自明的公理,甚至连驴子也会明白。也就是说,如果有一头驴站在A点(图2.7),而它的食物放在B点。这头驴肯定本能地懂得,从A直接到B,路程比沿两条边走,即从A到C,再从C到B要短。人们曾认为,命题I.20确是一条不证自明的真理,因此应属于公设。然而,如果能够作为一条命题证明这一定理,犹如前文中圆规的例子一样,欧几里得当然不愿再去假定一条公设,而他对这一定理所做的证明又是非常富有逻辑性的。

betway必威官网手机版 15 

  欧几里得接着又提出了几条不等式命题,随后提出了他最后一条全等定理,即重要的命题I.26。在这一命题中,他首先证明了“角边角”或ASA的全等模式,并以此作为命题I.4“边角边”或SAS全等定理的推论。然后,在命题I.26的第二部分,欧几里得又提出了第四个,也是最后一个全等模式,即“角角边”。对此,他证明,如果∠2=∠5,∠3=betway必威官网手机版 16 

  开始,人们会认为这只是“角边角”模式的直接推论而不予考虑。我们可以很清楚地看到,∠2 ∠3=∠5 ∠6,据此,我们可以得出

  ∠1=2个直角-(∠2+∠3)=2个直角-(∠5+∠6)=∠4

  然后,我们可以再回复到“角边角”(ASA)的全等模式,因为我们可以把等式中的角放在AB与DE的任何一端。

betway必威官网手机版 17 

  这是一个简短的证明;但遗憾的是,这个证明同样不能令人满意。在这里欧几里得不能引用这一证明,因为他还必须证明一个三角形三个角的和等于两个直角。的确,如果没有这一关键性的证明,似乎完全不可能证明“角角边”(AAS)的全等定理。但是,欧几里得却确实证明出了这一定理,他用反证法作了如下精彩的证明。

  命题I.26(角角边或AAS) 已知两个三角形,如果其中一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等,一条边,即……相等角中的一个对边,等于另一个三角形相应的一条边,则其余的边和其余的角也相等。

betway必威官网手机版 18
之等于EF。然后,作线段AH。

  betway必威官网手机版 19
因此,根据“边角边”定理,△ABH与△DEF全等。所以,∠AHB=∠6,因为它们是两个全等三角形的对应角。

  然后,欧几里得将注意力集中于小△AHC,并注意到,其外角AHB和相对内角∠3都等于∠6,因此,∠AHB与∠3也应该相等。但是,欧几里得在重要的命题I.16中已然证明,外角必定大于内对角。这一矛盾表betway必威官网手机版 20相等,因而,根据“边角边”定理,原三角形ABC与 DEF全等。 证讫。

betway必威官网手机版 21 

  我们再来看一看这一巧妙论证的重要意义:这四种全等模式(边角边、边边边、角边角和角角边)都成立,但无须涉及三角形三个角之和等于两个直角的问题。

  命题I.26结束了第一篇的第一部分。回顾这一部分的内容,我们看到,欧几里得在几何上已很有造诣。即使他还不得不应用他的平行线公设,但他已经确立了四种全等模式,研究了等腰三角形、对顶角和外角,并进行了各种作图。但是,他并未就此止步,仍在尽力走得更远。《原本》随即提出了平行线的概念。 

第一篇:平行线及有关命题 

  命题I.27 一条直线与两条直线相交,如果内错角相等,则这两条直线平行。 

  证明 见图2.10,假设∠1=∠2,欧几里得必须证明直线AB与CD平行——即,根据定义23,他必须证明这两条直线不会相交。他采用间接证法,先假设这两条直线相交,然后找到所涉的矛盾。假设直线AB与CD延长后,相交于G。那么,图形EFG就是一个延伸很长的三角形。但是,△EFG的外角∠2等于这同一个三角形的内对角∠1。根据命题I.16外角定理,这种情况是不可能的。因此,我们断定,AB与CD,不论延长多长,也不会相交,而这恰恰是欧几里得的平行线定义。证讫。

betway必威官网手机版 22 

  命题I.27打破了有关平行性的坚冰,但是,欧几里得依然避免应用平行线公设。这一争议很大的公设在欧几里得在命题I.29中证明I.27的逆命题时,终于出现了。

  命题I.29 一条直线与两条平行线相交,则内错角相等。

  证明 这次,欧几里得假设AB与CD平行(见图2.11),并须证明∠1=∠2。他再次使用间接法,即,假设∠1≠∠2,然后引出逻辑上的矛盾。因为,如果这两个角不相等,那么,其中一个角必定大于另一个角,我们不妨假设∠1>∠2。根据命题I.13

  2个直角=∠1+∠BGH>∠2 ∠BGH

betway必威官网手机版 23

  在此,欧几里得终于引用了公设5,这一公设恰恰适合于这种情况。由于∠2 ∠BGH<2个直角,根据公设5,他可以断定,AB与CD必定相交于右侧,这显然是不可能的,因为已知这条直线是平行的。因此,根据反证法,欧几里得表明,∠1不能大于∠2;同样,∠2也不能大于∠1。总而言之,平行线的内错角相等。证讫。

  根据这一证明,欧几里得很容易地便推断出同位角也相等,即,在图2.11中,∠EGB=∠2,因为∠EGB与∠1是对顶角。

  在最终引用了平行线公设之后,欧几里得发现,实际上不可能打破以往的习惯。在第一篇余下的20个命题中,几乎没有一处再直接应用平行线公设或基于这一公设的命题,唯一的例外是命题I.31,在这一命题中,欧几里得演示了如何通过直线外一点作已知直线的平行线。但是,平行线公设当然是被嵌入了一个人人都在等待出现的定理之中:

  命题I.32 在任何三角形中……三个内角之和……等于两个直角。

  证明 已知△ABC,如图2.12所示,他根据命题I.31,作CE平行于三角形的边AB,并延长BC到D。根据命题I.29(平行线公设的推论),他知道,∠1=∠4,因为它们是两条平行线的内错角;并且,还知道,∠2=∠5,因为它们是同位角。因此,△ABC三个内角的和就是∠1+∠2+∠3=∠4 ∠5+∠3=2个直角,因为这些角构成了直线BCD。这样,这一著名的定理即证明完毕。 证讫。

betway必威官网手机版 24 

  自此,欧几里得开始将注意力转向更复杂的问题。他接下来的几个命题提出了有关三角形和平行四边形的面积问题,其中最精彩的是命题I.41。

  命题I.41 如果一个平行四边形与三角形同底,且位于同两条平行线之间,则这个平行四边形的面积是三角形面积的两倍。 

  希腊人以此说法表示,如果一个三角形与任意平行四边形同底同高,则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。由于这种平行四边形的面积与同底同高的矩形面积是一致的,而矩形的面积是(底)×(高),我们由此可以看到,在命题I.41中包含着一个现代公式,即,面积(三角betway必威官网手机版 25 

  但是,欧几里得并未用这种代数语言思维。相反,他想象,△ABC确与平行四边形ABDE具有同一条边,且同位于两条平行线AB与DE之间,如图2.13所示。然后,欧几里得证明,面积(平行四边形ABDE)=2面积(△ABC)。

betway必威官网手机版 26 

  间隔几个命题之后,欧几里得在命题I.46中演示了如何在已知线段上作正方形图形。当然,正方形是一种规则四边形,因为它的所有边和所有角全等。最初,人们可能会以为这一命题只是一个普通的命题,特别是他们会回忆起第一篇一开始就介绍了等边三角形这种规则三边形的作图。我们只要看一看他对正方形作图的证明就会明白,正方形作图何以延迟了这么长时间,因为对正方形作图的论证,很多要根据平行线的性质,而这当然只能等到关键的命题I.29之后。因此,虽然欧几里得在第一篇的一开始就介绍了规则三角形的作图,但他不得不等到接近第一篇的尾声时才作规则四边形的图形。

  第一篇除了证明这46个命题之外,还有最后两个命题需要证明。看来,欧几里得是将最好的留在了最后。在作好所有这些准备之后,他开始冲击毕达哥拉斯定理,这一定理显然是所有数学定理中最重要的定理之一。

  伟大的定理:毕达哥拉斯定理(勾股定理) 

  众所周知,在欧几里得之前,毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩,因此,欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人。然而,我们下面看到的证明为他赢得了声誉,许多人都相信,这一证明最初是由欧几里得作出的。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精练;毕竟,欧几里得为作出证明,只能依赖他的公设、公理和最初的46个命题,可谓捉襟见肘。我们不妨考虑一下他尚未涉及的几何论题:他以前唯一探讨过的四边形是平行四边形;对于圆,基本上尚未探索;而对于特别重要的相似性,则直到第六篇才开始阐述。虽然可以确信,如果应用相似三角形,可以对毕达哥拉斯定理作出非常简短的证明,但是,欧几里得不愿把这一重要命题的证明推迟到第六篇以后进行。显然,他希望尽可能早地直接涉及毕达哥拉斯定理,因此,他创立了一个证明,并以此作为《原本》的第47个命题。从这个命题中,我们可以看到,在此之前的许多命题都指向了伟大的毕达哥拉斯定理,因此,我们可以说第47命题堪称第一篇的高潮。

  在我们详细介绍欧几里得的证明之前,我们不妨先来看一看用欧几里得语言阐述的这个命题,从中可以窥见其论证方法之巧妙。

  命题I.47 在直角三角形中,斜边上的正方形面积等于两个直角边上的正方形面积之和。

  请注意,欧几里得的命题不是关于代数方程式a2=b2+c2,而是述及了一种几何现象,涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。欧几里得必须证明,以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积(见图2.14)。为证明这一点,他采用了一个非常奇妙的方法,从直角顶点开始作线段AL,使之与大正方形的边平行,并将大正方形分割为两个矩形。现在,欧几里得只要证明左边矩形(即以B和L为对角的矩形)的面积等于以AB为边的正方形面积;同样,右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出,两个矩形面积之和等于大正方形面积,同样也就等于两个小正方形面积之和。

betway必威官网手机版 27 

  这一普通方法非常巧妙,但还需要补充一些细节。幸好,欧几里得在他的早期命题中已完成了全部准备工作,因此,现在的问题是如何将它们谨慎地组合起来。

  证明 根据假设,欧几里得已知∠BAC是直角。他应用命题I.46,在三条边上作正方形,并应用命题I.31,过A点作AL平行于BD,然后,连接AD与FC。初看起来,这些辅助线似乎显得很神秘,但它们很快就会变得浅显易懂了。

  对于欧几里得来说,关键的问题是要证明CA与AG在同一条直线上。欧几里得指明,根据正方形作图,∠GAB为直角,而根据假设,∠BAC也是直角。由于这两个角的和等于两个直角,命题I.14保证了GAC是一条直线。有趣的是,在这一显然只涉及到很少的技术性问题的证明中,欧几里得唯一一次应用了∠BAC是直角这一事实。

  现在,欧几里得开始将目光转向两个细长的三角形ABD和FBC。这两个三角形的短边(分别为AB和FB)相等,因为它们是一个正方形的两条边;同理,两个三角形的长边(BD和BC)也相等。那么,它们的对应夹角是否相等呢?由于∠ABD是∠ABC与正方形直角∠CBD之和,而∠FBC是∠ABC与正方形直角∠FBA之和。公设4规定,所有直角都相等。公理2则保证了等量之和相等。因此,∠ABD=∠FBC。根据“边角边”定理(即命题I.4),欧几里得证明狭长三角形ABD与FBC全等;因此,这两个三角形的面积相等。

  到目前为止,一切顺利。接着,欧几里得指明,△ABD与矩形BDLM具有同一条边BD,并且,位于同两条平行线(BD与AL)之间。因此,根据命题I.41,BDLM的面积等于△ABD面积的2倍。同样,△FBC与正方形ABFG也具有同一条边BF。并且,欧几里得已证明GAC是一条直线,因此,△FBC与正方形ABFG也同位于平行线BF与GC之间;根据命题I.41,正方形ABFG的面积也等于△FBC面积的2倍。

  欧几里得综合这些结果和先前证明的三角形全等,得出:

  面积(矩形BDLM)=2面积(△ABD)
          =2面积(△FBC)
          =面积(正方形ABFG)

  至此,欧几里得完成了一半使命。下一步,他需证明矩形CELM的面积等于正方形ACKH的面积。对此,他可以用同样的方法证明。首先,连接AE与BK,然后,证明BAH是一条直线,并根据“边角边”定理,证明△ACE与△BCK全等。最后,引用命题

  I.41,欧几里得推论:

  面积(矩形CELM)=2面积(△ACE)
          =2面积(△BCK)
          =面积(正方形ACKH)

  至此,毕达哥拉斯定理呼之欲出,因为:
  面积(正方形BCED)
  =面积(矩形BDLM) 面积(矩形CELM)
  =面积(正方形ABFG) 面积(正方形ACKH)。证讫。

  至此,欧几里得完成了数学中最重要的证明之一,而他所应用的图形(图2.14)也因此成为了非常著名的图形。人们常常称欧几里得的图形为“风车”,因为它的外形看起来很像风车。从附图中我们可以看到1566年版《原本》所刊载的“风车”图形,图中的文字为拉丁文。显然,400多年前的学生便已开始研究这一图形,犹如我们刚才所做的那样。

  当然,欧几里得的证明并不是证明毕达哥拉斯定理的唯一方法。实际上,证明方法有数百种之多,有的非常巧妙,有的极其平庸。(其中包括俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德的证明,他后来成为美国总统。)读者如果对其他证明方法感兴趣,可以参考E.S.卢米斯所著《毕达哥拉斯命题》一书,其中收录了对这一著名定理的千百种证明方法,令人眼花缭乱。

  虽然命题I.47标志了第一篇的高潮,但欧几里得还有最后一个命题要证明,这就是毕达哥拉斯定理的逆定理。欧几里得对这一逆定理的证明,其巧妙和精练,依然是显而易见的。但遗憾的是,这一证明本该同样著名,却始终湮没不彰。实际上,大多数学生在其一生中,总会在某一时刻见到过对毕达哥拉斯定理的证明,但是见过对其逆定理证明的人就少得多,即使见到,也不敢肯定其正确性。

  欧几里得对这一逆定理的证明有两个特点值得我们特别注意。其一是它非常短,将其与我们刚看到的论证相比,则尤其如此。其二是欧几里得在证明这一逆定理时,应用了毕达哥拉斯定理。这种逻辑方法虽然并非没有前例,但至少值得注意。让我们回想一下,欧几里得在证明有关平行线的两个重要命题(命题Ⅰ.27及其逆命题Ⅰ.29)时,并没有用其中一个命题去证明另一个命题。但是,他对毕达哥拉斯逆定理的证明,却将命题Ⅰ.48牢固地建立在命题Ⅰ.47的基础之上,使这两个命题成为一个明确的序列单位。

  命题Ⅰ.48 在一个三角形中,如果一边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和,则这两边的夹角是直角。

  betway必威官网手机版 28
所示。他必须证明∠BAC是直角。

betway必威官网手机版 29 

  为此,欧几里得首先根据命题Ⅰ.11,作AE垂直于AC,并交AC于A。
betway必威官网手机版 30 
明三角形BAC与DAC全等。

  betway必威官网手机版 31
确定的),但根据垂线作图,我们知道∠DAC是直角。因此,欧几里得完全有理由应用毕达哥拉斯定理于直角三角形DAC,并根据假设,推导出

betway必威官网手机版 32

  betway必威官网手机版 33边边”定理,△DAC与△BAC全等。因而,∠BAC与∠DAC也必然全等。而根据作图,后者为直角,所以,∠BAC也是直角。证讫。

  命题Ⅰ.47和Ⅰ.48相得益彰,揭示了直角三角形的全部特征。欧几里得表明,一个三角形,如果也只有当其斜边的平方等于两条侧边的平方和时,这个三角形才是直角三角形。这些证明过去是,现在依然是最佳几何例证。

  这两个毕达哥拉斯命题在另一种意义上也是卓越非凡的。欧几里得以一种巧妙的方式证明这两个命题是一回事,而这两个命题是正确的则是另一回事。对于直角三角形与平方和的密切关系,没有直觉的推论。例如,它不像命题Ⅰ.20那样,是一种甚至连驴子都能懂得的不证自明的真理。相反,毕达哥拉斯定理证明了一个非常奇特的事实,其奇特性之所以不被认识,仅仅是因为其结果太著名了。理查德·特鲁多在他的《非欧几里得革命》一书中精彩地描述了毕达哥拉斯定理这种固有的奇特。特鲁多注意到,直角是一种人人都熟悉的日常存在,它不仅存在于人为世界,而且也存在于自然界本身。还有什么能比直角更“普通”或更“自然”的呢?但特鲁多又说:

  “毕达哥拉斯定理使我感到非常惊奇……‘a2=b2+c2’……无论如何引不起我本能的记忆……因为这个方程抽象,精确,异乎寻常。我想象不出这样一种东西与日常生活中所见的直角有什么关系。因此,当偶然揭开‘熟悉’的帘幕,重新审视毕达哥拉斯定理,我不禁感到目瞪口呆。” 

后记

  纵观历史,《原本》第一篇基础中最令人困惑的是引起争议的平行线公设。困惑的产生并非因为有人怀疑平行线公设的真理性,相反,人们普遍认为这个公设是逻辑的必然。几何毕竟是一种抽象描述世界的方式,是一种“物理的抽象”,而物理现实又确实决定了平行线公设的真理性。

  因此,受到质疑的不是欧几里得的陈述,而是他将其列为公设。古代作家普罗克洛斯一言以蔽之,“它(公设5)完全应从公设中剔除,因为它是一条定理……”

  对平行线公设的这种认识并不奇怪。首先,可能确实使古代几何学家感到迷惑的是,这一公设看起来的确十分像一条命题,因为它的陈述性语句就占了大半段。加之,欧几里得似乎不仅尽可能避免应用这一条公设,而且在证明一些相当深奥微妙的结论时,也尽可能设法绕过它。“如果说他的其他公设和公理的内容都非常丰富,足以产生诸如命题Ⅰ.16或Ⅰ.27这样的定理或四种全等格式的话,那么,它们当然也应该同样包容平行线公设的含义。”

  出于似乎非常充分的理由,数学家们开始寻求公设5的推导根据。他们在寻求这一证明的过程中,可以自由地应用除公设5以外的任何其他公设或公理,以及欧几里得从Ⅰ.1到Ⅰ.28的全部命题。无数数学家都曾为此做出过不懈的努力,但非常遗憾的是,他们几年、几十年,甚至几百年的努力都失败了。这一证明至今依然是一个难解的谜。

  几何学家在这一过程中,只发现了许多在逻辑上等同于平行线公设的新的命题。为证明公设5,常常需要数学家们去假设一种看来很明显,但迄今为止尚未得到证明的命题。然而,遗憾的是,为引出这样一个命题,平行线公设本身又是必不可少的,而问题就在这里。对于逻辑学家来说,这表明,两者实际都在表达同一个概念,而对公设5的“证明”,如果要求假设它的逻辑等价命题,自然就什么也没有证明。

  比较著名的四个平行线公设等价命题记叙如下。应该指出的是,假如可以根据公设1至4证明下述任何一项,则公设5便是顺理成章的了。

  ■ 普罗克洛斯公理:如果一条直线与两条平行线中的一条相交,也必定与另一条平行线相交。
  ■ 等距公设:两条平行线之间距离处处相等。
  ■普莱费尔公设:经过已知直线外一点,可以作一条,而且只能作一条与已知直线平行的直线。
  ■ 三角形公设:三角形三个内角和等于两个直角。

  尽管文艺复兴时期产生了这四个逻辑等价命题,但却依然未能解决平行线公设的性质问题。无论谁推导出平行线公设证明,都会在数学史上享有永久的声望。有时,这一证明似乎已近在咫尺,唾手可得,但世界最优秀数学家的努力却一次又一次落空。

  19世纪初叶,有三个数学家几乎同时爆发灵感,发现了解决这一难题的真正曙光。第一位数学家就是举世无双的卡尔·弗里德里希·高斯(1777—1855年),有关他的生平,我们将在第十章中介绍。高斯立足对三角形角度的测量,重新设计了这个问题。为了证明三角形的内角和必定等于180°,他先假设三角形内角和不等于180°。这样,就使他面临两种选择:三角形内角和或者大于180°,或者小于180°。他进而研究了这两种情况。

  高斯依据直线是无限长的事实(欧几里得也同样含蓄地提出过这样的假设,对此,没有人提出异议)发现,如果三角形的内角和大于180°会导致逻辑矛盾。因此,这种情况显然应予排除。如果他能够同样排除另一种情况,他就可以间接地证明平行线公设的必然性。

  高斯首先假设三角形的三个内角和小于180°,然后便开始进行推理。但推理的结果非常奇怪,似乎有点儿不可理解和违背直觉(一种瞬间出现的现象)。但是,高斯却怎么也找不到他所寻求的逻辑矛盾。1824年,他总结这种情况说:

  “……一个三角形的内角和不能小于180°……这是……一块暗礁,所有的船只都会在它面前撞得粉碎。”

  随着高斯对这一特殊几何问题越来越深入的探讨,他逐渐相信这其中不存在逻辑矛盾。相反,他开始感觉到,他所发展的不是一种不相容的几何学,而是一种选择几何学,用他的话说,是一种“非欧几里得”几何学。高斯在他1824年的一封私人信件中详细阐述了他的观点:

  “三角形三个内角和小于180°的假设导致了一种非常古怪的几何学,与我们现在的几何学不同,但又完全讲得通,对此,我感到非常满意。”

  这是一段激动人心的话。高斯虽然被公认为是当时最优秀的数学家,但却没有公布他的发现。也许是为声名所累,因为他深信,对他见解的争议可能会损害他的崇高名望。1829年,高斯在写给他一位知己的信中说,他没有打算:

  “……把我的深入研究公诸于众,也许终生都不会公布,因为我惧怕在我大声讲出我的观点之后,会引起维奥蒂亚人的鼓噪。”

  今天的读者可能不明白维奥蒂亚人是何方神圣,对此,我们只需稍加解释,所谓的“维奥蒂亚人”是指那些缺乏想象力而又不开化的愚钝之人。显然,高斯忽略了数学界对他新观点的接受能力。

  接下来是匈牙利数学家约翰·鲍耶(1802—1860年)。约翰的父亲沃尔夫冈曾是高斯的密友,而且,他自己也曾为证明欧几里得的平行线公设空付出大半生的心血。当时的年代,儿子常常继承父亲的事业,成为牧师、皮匠或厨师……,而小鲍耶则继承了他父亲推导欧几里得平行线公设的深奥事业。但沃尔夫冈深知个中的难处,对他的儿子提出了强烈的警告:

  “你不能再去论证平行线公设。我深知这条路会带来什么结果。我曾力图穿越这无尽的黑夜,并因此葬送了我生活的全部光明与欢乐……我恳求你,不要再去管平行线公设。”

  但是,年轻的约翰·鲍耶并未理会父亲的忠告。像高斯一样,约翰也逐渐认识到了有关三角形内角和的关键性的三分法,并试图排除与平行线公设不符的所有情况。当然,同高斯一样,他也没有成功。随着鲍耶对这一问题越来越深入的研究,他同样得出结论,认为欧几里得几何在逻辑上遇到了强有力的对手,他十分惊讶地就他独待而显然论据确凿的命题写道,“从空无中,我创造了一个奇怪的新世界。”

  约翰·鲍耶不像高斯,他毫不犹豫地公布了自己的发现,他将自己的论文作为附录载于他父亲1832年的著作之中。老鲍耶兴高采烈地将自己的著作给他的朋友高斯寄去一本,但高斯的回信却使鲍耶父子十分意外:

  “如果坦言我不敢夸奖(令郎的)大作,你必然会感到吃惊:但是我别无选择;夸奖令郎就等于夸奖我自己;因为书中全部内容,他的思路,以及他所推导的结果,都与我自己的发现几乎同出一辙,这些发现在我脑子里已经存在了30至35年之久。”

  显然,高斯给他年青的崇拜者泼了一瓢冷水。值得称道的是,高斯非常谦和地讲到他自己“……非常高兴,恰恰是老友的儿子以这种非凡的方式超过自己”。但是,约翰得知他最伟大的发现已经躺在高斯的抽屉里几十年了,这对他的自尊心,当然是一个沉重的打击。

  然而,约翰的自尊心还要再经受一次打击,因为人们不久便得知,俄国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基(1793—1856年)不仅与高斯和鲍耶作了同样的工作,而且,于1829年就发表了他关于非欧几何的论文——比约翰早了整整三年。但罗巴切夫斯基的论文是用俄文写的,显然无声无息地传到了西欧。这种现象在科学界并不奇怪,一个发现有时会有许多人同时独立作出。沃尔夫冈·鲍耶讲得好:

  “……的确,许多事物似乎都自有其时令,会在多处同时显现,犹如紫罗兰在春季到处开放。”

  但是,这些发现还不能算是切中要害,另一位创新家乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(1826—1866年)对几何直线的无限长度别有一种见解。正是这种几何直线的无限性才使高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基得以排除三角形内角和大于180°的情况。但是,是否确有必要假设这种无限性呢?欧几里得的公设2称,有限直线可沿直线无限延长,但这难道不是在说,人们永远也达不到直线的尽头吗?黎曼完全可以想象,这些直线有几分像圆,长度是有限的,但却没有“尽头”。他说:

  “……我们必须区别无界与无限延长的概念……,空间的无界具有一种比外部感受更强的经验确实性。但无限延长绝不是从这个意义上推导出来的。”

  黎曼根据直线无界但长度有限的假设,重新检讨几何学,则三角形内角和大于180°时所产生的逻辑矛盾消失了。结果,他发展了另一种非欧几何,在这种几何中,三角形的内角和大于两个直角。黎曼的几何学虽然与欧几里得和鲍耶的几何不同,但却显然同样严谨。

  今天,我们承认所有这四位数学家为非欧几里得几何的创始人。他们理应享受先驱者的同等荣耀。但是,他们的发现也没有完全解决平行线公设的根本问题。因为,虽然他们把几何发展到了新的高度,但是,能够支持他们的新几何学与欧几里得几何并驾齐驱的,仅仅是一种知其然而不知所以然的直觉感受,并非白纸黑字的逻辑推理。尽管高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基和黎曼的发现都有很强的说服力,但在将来的某一刻,仍有可能会出现一位天才数学家,从他们关于三角形内角和小于或大于180°的假设中找出矛盾。

  因而,这个古老故事的最后一章由意大利的欧金尼奥·奥尔特拉米(1835—1900年)在1868年写完。他清晰地证明了非欧几何与欧几里得几何同样具有逻辑上的一致性。奥尔特拉米表明,如果说在高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基或者黎曼的几何中,可能存有某种逻辑矛盾的话,那么,在欧几里得几何中也同样存在这种矛盾。既然人人都认为欧几里得几何逻辑严谨一致,因此可以断言,非欧几里得几何也同样无懈可击。换言之,非欧几何在逻辑上并不比先者——欧几里得几何低下。

  为了理解高斯/鲍耶/罗巴切夫斯基派非欧几何(即三角形内角和小于180°的那种几何)的某些古怪论点,我们不妨看一看非欧几何对某些命题的证明。首先,让我们从另一个角度看一看三角形全等问题。当然,欧几里得的全等定理是在他初次应用公设5之前确立的,并在非欧几何中依然有效,因为这些全等定理的证明只需应用欧几里得的其他公设和公理,而无需参考其他任何东西。但在鲍耶几何中,令人感到惊奇的发展是,还有另外一种表示全等的途径,即“角角角”。

  在欧几里得几何中,我们知道,如果两个三角形的三个角分别相等,则这两个三角形相似。也就是说,它们形状相同,但无须全等。例如,一个小等边三角形和一个大等边三角形,尽管三个角都完全相等,但却是不全等图形。然而,我们下面将要讲到的非欧定理却表明,在非欧几何这个奇怪的世界里,这种情况却是不可能的。如果鲍耶的两个三角形形状相等,其面积也必定相等!

  定理(角角角)如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等,则这两个三角形全等。

  证明 如图2.16所示,在三角形ABC和DEF中,假设∠1=∠4,∠2=∠5,∠3=∠6。我们断言,边长AB与DE必定相等。为证明这一点,我们先假设这两条边长度不等,以造成最后的逻辑矛盾,为了不失却一般betway必威官网手机版 34

   betway必威官网手机版 35“角边角”定理,△ABC与△DGH全等,因此,∠DGH=∠2=∠5,同理,∠DHG=∠3=∠6。

betway必威官网手机版 36 

  现在,我们来看四边形EFHG。由于DGE和DHF是直线,根据命题Ⅰ.13,我们得知,∠EGH=(180°-∠DGH)=(180°-∠5),∠FHG=(180°-∠DHG)=(180°-∠6)。因此,四边形EFHG四个角的和等于

  (180°-∠5)+(180°-∠6)+∠6+∠5=360°

  现在,我们作四边形EFHG的对角线GF,将四边形分为两个三角形。根据非欧几何的基本性质,这两个三角形,每个三角形的内角和都小于180°;因此,两个三角形所有角的和必定小于360°。而这两个三角形所有角的和恰恰就是四边形EFHG四个角的和。我们刚才已推导出,四边形EFHG的四角和等于360°。

  betway必威官网手机版 37
“角边角”定理,即根据命题Ⅰ.26,可以直接推导出原来的两个三角形ABC与DEF全等——而这正是我们所要证明的定理。 证讫。

  从这一命题中,可以很容易地得出一个令人吃惊的推论:在非欧几何中,并非所有三角形的内角和都相等!欧几里得几何中这一最基本的性质(突出表现在许多几何推理中),在我们步入非欧几何领域时,却必须予以抛弃。因为假设有两个三角形,如图2.17所示,每个三角形的底角都是α和β,但是,AB边显然小于DE边。因此,我们断言,∠1不能等于∠2。因为如果它们相等,根据我们刚才证明的“角角角”全等定理,则这betway必威官网手机版 38我们看,一个三角形的内角和(∠1+α+β)不等于另一个三角形的内角和(∠2+α β)。总之,在非欧几何中,已知三角形的两个角,还不足以确定第三个角。从这一命题和许多其他类似命题中可以看出,为什么鲍耶说他创造了一个“奇怪的新世界”,以及为什么有那么多人在非欧几何刚刚露出地平线的时候就认为,非欧几何必然要出现逻辑矛盾。但是,正如我们刚才所证明的那样,他们全都错了。

betway必威官网手机版 39

  那么,这些19世纪的发现者们究竟要将欧几里得置于何地呢?一方面,欧几里得几何作为对空间的唯一逻辑上一致的描述的地位不复存在。实际上,每个人都会感到非常吃惊的是,非欧几何证明了平行线公设不是逻辑所训示的。欧几里得假设了这一条公设,但在数学上却没有这种必然性。存在对立的几何,而且同样正确。

  但另一方面,欧几里得的声誉得到了加强,而不是损毁。因为他没有像许多追随者那样落入陷阱,用其他不证自明的真理去证明平行线公设,我们现在知道,这种证明是注定要失败的。相反,他把他的假设理所应当地列为公设。欧几里得当然不可能知道两千年后会发现另一种几何学。但是,他凭着数学家的直觉,一定知道平行线的这一特性是一种个别的和独立的概念,它需要自己的公设,不论多么罗嗦和复杂。两千二百年后,数学家们证明了欧几里得始终是正确的。

本文由betway必威官网手机版发布于科学知识,转载请注明出处:betway必威官网手机版:数学原理浅谈一下,会有

关键词:

上一篇:萤火虫去哪儿了,可恨又可笑

下一篇:没有了