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调度平平均数量的几何意义,初级中学结束学业

来源:http://www.abirdfarm.com 作者:betway必威官网手机版 时间:2019-09-07 05:12

史前时代,人们最常看到的东西是洞穴岩壁。中古时代,人们最常看到的东西依照工作而定:农夫是翠绿的稻田,铁匠是发红的钢铁,官员则是钞票。现代,人们每天最常看到的都是屏幕,各式各样的屏幕,计算机屏幕、手机屏幕、捷运站的数字广告屏幕。除了官员可能还是看到钞票。

几何作为中考数学必考热门知识内容,其重要性不言而喻,纵观全国各地的中考试题,与几何有关的试题具有立题新颖、解法灵活多变、综合性和应用性较强等鲜明特点。

第一章 实数

 调和平均数的几何意义

 调和平均数的几何意义

从4:3演进成16:9

如今主流的屏幕比例是16:9。根据数据显示,人类眼睛向上与向下的视角各是60度与75度,水平向外的视角则高达95度。因此屏幕才进化成符合视觉的宽屏幕设计。此外,重要的信息大多在同个水平面,比起上下左右等比例加大,增加左右宽度,更能有效率地提升单位面积的信息量。

不过,关于宽屏幕的由来,还有另一种比较偏阴谋论的说法。所谓的屏幕尺寸是指屏幕的对角线长度。要计算4:3的21寸屏幕面积,可以假设三边边长各是4x、3x,刚好是学校课本里最受欢迎的(3,4,5)直角三角形,对角线即是5x=21寸,x=4.2寸,可求得面积12x2=211.7平方英寸。用一样的方式可以求得16:9的21寸屏幕面积是188.4平方英寸。同样标示21寸的屏幕,却因为换了个比例,顿时少了11%的面积!

如果是某些特定媒体报导,可能会出现“面板厂商借变更长宽比例偷工减料”这样的标题。要是三立八点档(台湾电视剧黄金档)则可能是以下的台词:

“呜,你怎么可以这样欺骗我,你说这样更符合人的视角范围,景象可以更自然呈现。说得这么好听,结果你竟然背地里偷工减料,阿哩机咧谋良心的。”

从4:3变成16:9究竟是视觉考虑还是成本考虑,亦或两者皆是,两者皆非,我们无法从中得知。但可以确定的是,如今4:3已经消失,16:9的宽屏幕尺寸即将一统江湖。

学生如果想在数学考试中取得高分,就离不开几何的学习。

★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算

调和平均数的代数形式(通俗):

调和平均数的代数形式(通俗):

屏幕比例大战

宽屏幕很合理,但如果各种“比例”有知觉,他们一定忿忿不平,毕竟在比例的国度里,有更多知名的前辈,好比希腊建筑最爱的1.618黄金比例,伊斯兰建筑最常用的2.414白银比例。怎么说都轮不到16:9这个趋近1.78:1的怪比例登场。

这一切,都要从屏幕比例的大战说起。

1930年初,好莱坞拍摄电影时采用了伟大发明家爱迪生团队所制定的4:3比例,我们并不知道他当初为何使用这个比例,或许是技术上,或许是爱迪生的数学课本里也有很多(3,4,5)正三角形,让他爱上这个比例。

4:3比例问世后,不管是家里的电视,或电影院的大屏幕都采用这个比例。然而,电影院的老板发现他们必须提供一些特别的体验,才能让观众付钱进戏院。他们将脑筋动到宽屏幕上,推出各式各样的宽屏幕比例,带给观众不同于电视的视觉飨宴,其中最成功的比例是2.35:1。于是,很长一段时间这4:3与2.35:1并存,各自有各自的一片发展空间。

直到我们生活中又多了计算机,电视里多了专门拨放电影的有线电影台,问题开始浮出水面。如果各位跟我差不多年纪,应该会有印象,小时候转到影片台,偶尔会看到那种让你以为屏幕坏掉,上下两大片黑色,只有中间小小一块有画面,那就是用4:3电视看2.35:1比例电影的下场。

这时,16:9的屏幕跃上了屏幕比例的舞台,因为它能最有效率地显示4:3与2.35:1这两种不同比例的影片。用数学术语来说就是:16:9是能包含等面积的4:3与2.35:1的两个长方形下,最小长方形的长宽比。

以下图为例,能包住8公分x6公分(4:3)与10.6公分x4.5公分(2.35:1)这两个等面积长方形的长方形,他的长宽比是10.6/6=1.76,刚好趋近于16:9。

图片 1制图/赖以威

用更严谨的数学证明。假设4:3长方形的长为1.33x、宽为x;假设2.35:1长方形的长是2.35y、宽是y。因为面积相等,可以得到等式1.33x2=2.35y2,化简可得x/y=根号(2.35/1.33)。

如此一来,能包住4:3长方形与2.35:1长方形的最小长方形,它的长是2.35y,宽是x(因为x>y),可求得长宽比2.35y/x=2.35x根号(1.33/2.35)=根号(1.33x2.35)=1.77,近似16:9。根号(ab)是几何平均数,对这名称有点模糊的人可以想想高中考试会出现的算数-几何不等式:算术平均数大于等于几何平均数。就是这个几何平均数。

我们可以验证看看是否16:9真的可以有效地降低屏幕的浪费。使用16:9的屏幕看2.35:1的影片时,浪费的黑色部分与屏幕的比例是(屏幕面积-影片面积)/(屏幕面积),化简后可得是1-y/x=24.8%。但要是用4:3的屏幕来看2.35:1的影片,这时候因为要让两边的长度相等,我们得到2.35y=1.33x的等式,化简后可得y/x比值为1.33/2.35,浪费的面积是上下两条,有高达1-y/x=43.4%的屏幕比例都是黑的。

反过来,要是用16:9屏幕看4:3影片,浪费的部分是1-1.33/2.35x根号(x/y)=24.8%,和看2.35:1的影片时一样。如果是用2.35:1屏幕看4:3影片,因为得让宽相等x=y,浪费的面积是左右两条,浪费比例高达1-1.33/2.35=43.4%。刚好和用4:3屏幕看2.35:1影片相同。

原本是4:3与2.35:1的屏幕比例战争,最后却不是由其中一方获胜,而是一开始默默无名的16:9统一了屏幕比例。这则故事告诉我们,成功的关键,有时不在于谁最优秀、谁先发制人,而在于谁最懂得兼容并蓄,让每个人都有发挥的机会,就能把握住时机,趁势而起。

几何难学吗?确实存在着一定的难度,但这不代表几何就攻不可破。学好几何我们可以分块进行,像四边形是初中数学重要几何内容之一,大家在学习的时候没必要一直盯着整个四边形板块,可以在细化,如正方形的学习。

☆内容提要☆

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果壳相关小组

  • 死理性派
  • 数学午餐会

正方形既是一种特殊的平行四边形,又是一种特殊的矩形,还是一种特殊的菱形。以正方形为载体的中考题,往往以基础知识、基本技能、基本数学思想和基本数学活动经验为依托,考查考生运用基础知识分析、解决问题的能力。

一、 重要概念

上次调和平均的几何意义问傻度不知道,MD就是个吃药和看广告的。

上次调和平均的几何意义问傻度不知道,MD就是个吃药和看广告的。

参考资料

  1. 宽屏演进史

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1.数的分类及概念

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我们对近几年中考数学试题进行分析和研究,遇到正方形探究问题的时候,学会从正方形自身知识定理出发.灵活利用正方形的性质或判定:

数系表:

         应用场景:样本自变量(身高)和因变量(胖瘦)的乘积相等的情况下,改变每个样本的因变量(胖瘦),而不改变因变量的总和(井宽),所得自变量为调和平均数。

         应用场景:样本自变量(身高)和因变量(胖瘦)的乘积相等的情况下,改变每个样本的因变量(胖瘦),而不改变因变量的总和(井宽),所得自变量为调和平均数。

1.正方形的对边平行,四条边都相等;

说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)

 

 

2.正方形的四个角都是直角;

2)有标准

        上图也可以看成中速,慢速,快速,跑3个100米,x轴是时间,y轴是速度,xy的积是路程,每份面积相等符合上方应用场景。

        上图也可以看成中速,慢速,快速,跑3个100米,x轴是时间,y轴是速度,xy的积是路程,每份面积相等符合上方应用场景。

3.正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角且是正方形的对称轴。

2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)

还有网上其它资料显示:调和平均数应用的范围较小。在实际中,往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数,这时需用调和平均

还有网上其它资料显示:调和平均数应用的范围较小。在实际中,往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数,这时需用调和平均

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常见的非负数有:

法来求得平均数。假如这个人是跑马拉松,我们只能观测他的300米,没有更多样本的情况下,调和平均数的方法就是尚佳的。

法来求得平均数。假如这个人是跑马拉松,我们只能观测他的300米,没有更多样本的情况下,调和平均数的方法就是尚佳的。

正方形有关的中考试题,典型例题分析1:

性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。

        注意,由于分子分母都可以乘以相同的数,所以因变量和自变量的乘积不一定是1可以是M,比如跑步的路程就是每份100。但是每个样本的面积M约掉公约数M后也还是面积为1的正方形(我采集3段100米和3段1米是一样的),分子分母都约调公约数M后就成了公式中令人费解的逼样。

        注意,由于分子分母都可以乘以相同的数,所以因变量和自变量的乘积不一定是1可以是M,比如跑步的路程就是每份100。但是每个样本的面积M约掉公约数M后也还是面积为1的正方形(我采集3段100米和3段1米是一样的),分子分母都约调公约数M后就成了公式中令人费解的逼样。

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点,点E、F分别是OB、OC上的动点,

3.倒数: ①定义及表示法

        这样的话顺带就理解了带权重的调和平均数:假设第一个橡皮泥是班长,改他的面积为2,其它人还是1。这样班长的就是宽度就是2/x1,上方分子(总面积)也要把1 1 1改成2 1 1。就是把带权重的样本面积等比例放大缩小。

        这样的话顺带就理解了带权重的调和平均数:假设第一个橡皮泥是班长,改他的面积为2,其它人还是1。这样班长的就是宽度就是2/x1,上方分子(总面积)也要把1 1 1改成2 1 1。就是把带权重的样本面积等比例放大缩小。

如果动点E、F满足BE=CF.

②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.0<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D。积为1。

 

 

写出所有以点E或F为顶点的全等三角形

4.相反数: ①定义及表示法

 转注出:

 转注出:

证明:AE⊥BF

②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C。和为0,商为-1。

如果动点E、F满足BE=OF,问AE⊥BF 时,点E在什么位置,并证明你的结论.

5.数轴:①定义(“三要素”)

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②作用:A。直观地比较实数的大小;B。明确体现绝对值意义;C。建立点与实数的一一对应关系。

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6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)

考点分析:

定义及表示:

正方形的性质;全等三角形的判定与性质;应用题。

奇数:2n-1

题干分析:

偶数:2n(n为自然数)

根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形,根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论,

7.绝对值:①定义(两种):

根据正方形性质及已知条件得出BEM∽AEO,BEM∽BOF,再根据三角形相似的性质即可得出答案.

代数定义:

解题反思:

几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质,相似三角形的判定及性质,比较综合,难度较大.

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。

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二、 实数的运算

正方形有关的中考试题,典型例题分析2:

  1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)

  2. 运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点,抛物线y= 14x2 bx c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.

分配律)

求B点坐标;

  1. 运算顺序:A。高级运算到低级运算;B。(同级运算)从“左”

求证:ME是⊙P的切线;

到“右”(如5÷ ×5);C。(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点,

三、 应用举例(略)

求ACQ周长的最小值;

附:典型例题

若FQ=t,SACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.

  1. 已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│ │x-b│

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=b-a。

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2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。

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第二章 代数式

考点分析:

★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算

二次函数综合题.

☆内容提要☆

题干分析:

一、 重要概念

如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;

分类:

知A,C,即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得PEF∽EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;

1.代数式与有理式

如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,ACQ周长的最小值为AC A′C的长,利用勾股定理即可求得ACQ周长的最小值;

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独

分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案.

的一个数或字母也是代数式。

解题反思:

整式和分式统称为有理式。

此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用.

2.整式和分式

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含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

正方形有关的中考试题,典型例题分析3:

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

巳知二次函数y=a的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

如图.连接AC,将OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上,求实数a的值;

3.单项式与多项式

如图,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是、,边HG位于边EF的 右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;

没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)

如图,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标l是大于3的常数,试问:是否存在一个正数阿a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.

几个单项式的和,叫做多项式。

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说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。如,

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=x, =│x│等。

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4.系数与指数

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区别与联系:①从位置上看;②从表示的意义上看

考点分析:

5.同类项及其合并

二次函数综合题.

条件:①字母相同;②相同字母的指数相同

题干分析:

合并依据:乘法分配律

本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴,再根据∠OAC=60°得出AO,从而求出a.

6.根式

本题需先分两种情况进行讨论,当P是EF上任意一点时,可得PC>PB,从而得出PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.

表示方根的代数式叫做根式。

本题需先得出PA=PB,再由PC=PD,列出关于t与a的方程,从而得出a的值,即可求出答案.

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

解题反思:

注意:①从外形上判断;②区别: 、 是根式,但不是无理式(是无理数)。

本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意运用数形结合和分类讨论,把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键.

7.算术平方根

解正方形有关的天性,要学会从基本图形出发,通过适当的变化,提出新的问题进行探索,这种探索性问题不仅可考查基础知识,又能考查思维水平。

⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);

几何题历来都是中考数学的热点题型,倍受中考命题者青睐,正方形有关的中考题,其立意新颖,融几何、代数于一体,数形结合,有较强的综合性。

⑵算术平方根与绝对值

① 联系:都是非负数, =│a│

②区别:│a│中,a为一切实数; 中,a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴ ( —幂,乘方运算)

① a>0时, >0;②a<0时, >0(n是偶数), <0(n是奇数)

⑵零指数: =1(a≠0)

负整指数: =1/ (a≠0,p是正整数)

二、 运算定律、性质、法则

1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质: = (m≠0)

⑵符号法则:

⑶繁分式:①定义;②化简方法(两种)

3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

4.幂的运算性质:① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

技巧:

5.乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式:(正、逆用)

(a b)(a-b)=

(a±b) =

7.除法法则:⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A。提公因式法;B。公式法;C。十字相乘法;D。分组分解法;E。求根公式法。

9.算术根的性质: = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A. ;B. ;C. 。

11.科学记数法: (1≤a<10,n是整数=

三、 应用举例(略)

四、 数式综合运算(略)

第三章 统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、 重要概念

1.总体:考察对象的全体。

2.个体:总体中每一个考察对象。

3.样本:从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量:样本中个体的数目。

5.众数:一组数据中,出现次数最多的数据。

6.中位数:将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)

二、 计算方法

1.样本平均数:⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a—常数, , ,…, 接近较整的常数a);⑶加权平均数:;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确。

2.样本方差:⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数);若 、 、…、 较“小”较“整”,则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。

3.样本标准差:

三、 应用举例(略)

第四章 直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆ 内容提要☆

一、 直线、相交线、平行线

1.线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2.线段的中点及表示

3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)

4.两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线)

5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)

6.互为余角、互为补角及表示方法

7.角的平分线及其表示

8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)

9.对顶角及性质

10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)

11.常用定理:①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12.定义、命题、命题的组成

调度平平均数量的几何意义,初级中学结束学业生升学考试前数学总复习必备提纲。13.公理、定理

14.逆命题

二、 三角形

分类:⑴按边分;

⑵按角分

1.定义(包括内、外角)

2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中,

3.三角形的主要线段

讨论:①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法

6.三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。

7.重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8.证明方法

⑴直接证法:综合法、分析法

⑵间接证法—反证法:①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系:加倍法、折半法

⑸证线段和差关系:延结法、截余法

⑹证面积关系:将面积表示出来

三、 四边形

分类表:

1.一般性质(角)

⑴内角和:360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和:360°

2.特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤:四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用:

3.对称图形

⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)

4.有关定理:①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。(如,找下图中面积相等的三角形)

5.重要辅助线:①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6.作图:任意等分线段。

四、 应用举例(略)

第五章 方程(组)

★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)

☆ 内容提要☆

一、 基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)

  1. 分类:

二、 解方程的依据—等式性质

1.a=b←→a c=b c

2.a=b←→ac=bc (c≠0)

三、 解法

1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

  1. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法

②加减法

四、 一元二次方程

1.定义及一般形式:

2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)

⑶公式法:

⑷因式分解法(特征:左边=0)

3.根的判别式:

4.根与系数顶的关系:

逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。

5.常用等式:

五、 可化为一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )

⑷验根及方法

2.无理方程

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法

3.简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、 列方程(组)解应用题

一概述

列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

  1. 行程问题(匀速运动)

基本关系:s=vt

⑴相遇问题(同时出发):

= ;

⑵追及问题(同时出发):

若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则

⑶水中航行: ;

  1. 配料问题:溶质=溶液×浓度

溶液=溶质 溶剂

3.增长率问题:

4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。

5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化

如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、……

又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a 10b c,而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如,x比y大3,则x-y=3或x=y 3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算

如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例(略)

第六章 一元一次不等式(组)

★重点★一元一次不等式的性质、解法

☆ 内容提要☆

  1. 定义:a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b。

  2. 一元一次不等式:ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

  3. 一元一次不等式组:

  4. 不等式的性质:⑴a>b←→a c>b c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac<bc(c<0)

⑷(传递性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a c>b d。

5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)

7.应用举例(略)

第七章 相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套(比例的有关性质):

涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。

第二套:

注意:①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似(比例线段)→平行。

二、相似三角形性质

1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证(解)题规律、辅助线

1.“等积”变“比例”,“比例”找“相似”。

2.找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。⑴

3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4.对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。

5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。

五、 应用举例(略)

第八章 函数及其图象

★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。

☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系

1.各象限内点的坐标的特点

2.坐标轴上点的坐标的特点

3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

(定义→图象→性质)

  1. 正比例函数

⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。

⑵图象:直线(过原点)

⑶性质:①k>0,…②k<0,…

  1. 一次函数

⑴定义:y=kx b(k≠0)

⑵图象:直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。

⑶性质:①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况:

  1. 二次函数

⑴定义:

特殊地, 都是二次函数。

⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。 用配方法变为,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。

4.反比例函数

⑴定义: 或xy=k(k≠0)。

⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。

⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:

2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例(略)

第九章 解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆ 内容提要☆

一、三角函数

1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= 。

  1. 特殊角的三角函数值:

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

  1. 互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…

  2. 三角函数值随角度变化的关系

5.查三角函数表

二、解直角三角形

  1. 定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

  2. 依据:①边的关系:

②角的关系:A B=90°

③边角关系:三角函数的定义。

注意:尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

  1. 俯、仰角: 2.方位角、象限角: 3.坡度:

4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。

四、应用举例(略)

第十章 圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

1.圆的定义(两种)

2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理

4.垂径定理及其推论

5.“等对等”定理及其推论

  1. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)

⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)

⑶弦切角定义(弦切角定理)

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质:

2.切线的性质(重点)

3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4.切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)

2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角:

内角的一半: (右图)

(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等)

六、 一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、 点的轨迹

六条基本轨迹

八、 有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周:4、8;6、3等分

九、 基本图形

十、 重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线(连心线)

6.两圆相交公共弦

本文选自《完美熊宝宝的博客》的博客

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