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betway必威官网手机版把加法与乘法结构拆掉再复

来源:http://www.abirdfarm.com 作者:betway必威官网手机版 时间:2019-08-09 00:46

几十年来最重要的数学成果可能马上就要发表了——唯一的问题是,大部分数学家还是看不懂它。

提醒:本文中将会出现大量不影响阅读的数学术语

望月新一的abc猜想证明可能即将发表,这一消息让数学界对这个极为难懂证明的讨论重新热烈了起来,其中也不乏悲观的反对者。芝加哥大学代数数论教授Frank Calegari就在自己的博客上撰文认为,按照这一论文此刻的状态,尚不能称为证明,就算发表也于事无补;著名华裔数学家陶哲轩也在评论里表达了他的疑虑。

据《朝日新闻》,望月新一关于ABC猜想的论文可能将要发表,审核它的期刊是《数理解析研究所公刊》(PRIMS)。

  8月22日,第25届国际数学家大会将在西班牙首都马德里举行。像每次大会召开前夕一样,有关四年一度的、素有数学界诺贝尔奖之称的菲尔茨奖花落谁家的问题,再次成为国际数学界的一个热点话题。

5年前,日本数学家望月新一将他对abc猜想的证明贴在了他所在的京都大学数理解析研究所(RIMS)主页上。5年过去了,数学界面对这个由四篇论文组成、长达512页的证明基本上依然是一脸懵逼。这个证明如果成立,带来的冲击将难以想象——别的不说,包括费马大定理在内的许多数学猜想与证明颇为繁琐的定理都可以由此直接推导得出。但是,几乎所有看过它的数学家都表示这个论文实在太难读,判断其正确与否太过困难;而极个别的看懂了的数学家,也没能成功地给其他人讲明白。

2012年8月30日,43岁的日本数学家、京都大学教授望月新一在数学系主页上贴了4篇论文,通过总共长达512页的艰深推理(当代数学论文多为10~20页),他宣称自己解决了数学史上最富传奇色彩的未解猜想:ABC猜想。

(Math001 浪荡游侠/译,donkeycn/校)五年前,Cathy O’Neil 给出了一个十分令人信服的论证,解释了为何(当时还是刚发表的)望月新一的声称(尚且)不应该被视作是ABC猜想的证明。关于那篇帖子中讨论的数学的社会侧面,我这里不再做任何补充了。这里我只想向大家报告一下,现在,它在专业的数论学家眼里是个什么情况。答案是,这简直是一场彻底的灾难。

媒体对此的报道大抵聚焦在两点上:一是这个期刊就是他的工作单位主办的,一是这个论文几乎无人能懂。

  与往年有所不同的是,有关今年获奖者的猜想特别集中在一个人身上,那就是俄罗斯数学家佩雷尔曼(Grigory Perelman)。

传说相对论曾经全世界只有三个人能懂,这应该是夸张(好几个物理学家距离狭义相对论本来就只差一步,而广义相对论发表不久后也被广泛接受了),但坊间传言的“迄今为止只有十二个人能懂望月新一的理论”,看起来仿佛是真的。

ABC猜想在27年前由Masser和Oesterlé分别独立提出。自那时以来,鲜有数学家敢于尝试证明它的正确性,而先前号称自己证明了该猜想的人,经由数学界检查,他们的证明也都因各种错漏而被否认。 望月新一解决难题的能力广为人知,所以数学界必定会认真研究他的论文,从全局的思维过程到最细枝末节的精巧构造,就正确与否给出一个答案。

betway必威官网手机版 1abc猜想的阐述(局部)。

作为一个数学研究者,我个人并不担心望月新一的利益冲突问题,不但因为数学界有一套相当完备的系统用以避免利益冲突,在选定编辑和审稿人时有良好的避嫌标准,更重要的是:他没有动机。他已经功成名就,不需要什么文章。数学这种东西,对就对,错就错,不存在编数据或者实验造假,一切细节都在文章里。要是错了,无论强行发表在什么期刊上,也终有一天会被发现,而一发现就无可抵赖,只能重新修补。

  据《自然》杂志在线新闻报道,“因世纪难题庞加莱猜想的证明,俄罗斯数学家佩雷尔曼可能会赢得本年度的菲尔茨奖。”

望月新一自己把这个理论称为“宇宙際Teichmüller理論”(英文Inter-universal Teichmüller,简称IUT),我们就不吐槽这个中二满满的名字了……根据不负责任的传闻,这十二个看懂了的人分别是:加藤文元(东京工大教授),玉川安騎男(RIMS教授),松本眞(广岛大学教授),山下剛(RIMS讲师),星裕一郎(RIMS讲师),Chung Pang Mok(普渡大学副教授), Ivan Fesenko(诺丁汉大学教授),谭福成(RIMS讲师),Emmanuel Lepage(巴黎第六大学副教授),Taylor Dupuy(佛蒙特大学客座教授), Kiran Kedlaya(加州大学圣迭戈分校教授),Jeffery Lagarias(密歇根大学教授)。

但是,问题来了:谁能看得懂这套证明,并且明白证明背后建立起来的新数学理论的哲学?James D. Taylor在著名数学论坛MathOverflow上发了 一个帖子 ,很多数学家,包括菲尔兹奖得主陶哲轩和望月新一的好友、牛津大学教授金明迥也参与了讨论;最后大家得出的答案是:没人看得懂。

这篇文章并不是试图对望月新一论点的真伪做出任何认识论意义上的断言。举个极端的例子,如果望月新一把这个证明用古希腊线形文字A刻在石板上,然后丢到马里亚纳海沟里,那么毫无疑问,追问那证明是否准确就是件毫不重要的事情。虽然说法极端,但现实情况和刚刚我的这个描述没太大差别。

但是他的理论绝不仅仅是一个“几乎无人能懂”的怪物而已。它所试图解决的根本数学问题,它背后的当代数学界的面貌,它反映出的做数学研究是怎样的状态,这里面还有太多的故事并不是、也不应该是只有几个人能懂。

  种种迹象表明,佩雷尔曼获奖仿佛板上钉钉,但在庞加莱猜想被证明这一重大科学成就的所谓“归属”问题上,国际数学界似乎并未达成普遍共识。

但是就在不久前,日媒《朝日新闻》发布了一条出人意料的消息:望月新一的论文正在进入审核尾期,如果审核通过,那么这篇论文将于2018年1月左右正式发表。《自然》记者Davide Castelvecchi向期刊去函求证,期刊表示尚未最终决定接收因此不能评论,但也没有否认媒体报道。如果成功发表,那么这个时间将比之前不少数学家预期的十年缩短一半。

现代数学研究的机制已经趋于成熟,一个问题总是基于前人的工作和对相关问题的理解而提出的,解决问题的机制也多为已知方法的变种。2003年,佩雷尔曼证明了统一人类对三维宇宙认识的庞伽莱猜想,用的是上世纪80年代汉密尔顿引入微分几何的研究方法“Ricci曲率流”;几百年前费马声称空白太窄写不下证明过程的费马最后定理,怀尔斯爵士在上世纪上世纪80年代证明该猜想时,用的也是上世纪50年代建立起来高阶椭圆曲线的模形式理论。

每一次我(私下里)听到某个专家分析望月新一的论文,结果都是让人不安的相似:海量的平凡的事实,加上山一般高的未经验证的结论。对望月新一的辩护通常基于如下观点:格罗滕迪克学派的数学产出也是遵循着相似的模式,而事实证明,这些产出已经成为现代数学的基石。有这样一个典故:

甚至也许可以说,这些故事能让人直观地感受到:现代数学是什么。

  佩雷尔曼震惊数学界

通常来说重大科学论文都要先经过同行评议,确认无误后发表,然后才算真正有影响力,数学领域证明著名猜想这种事情也不例外。但是这篇论文可能将要发表的消息并没能让大家安心多少,因为它即将发表的期刊《Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences》(PRIMS)就是望月新一本人任职的京都大学RIMS研究所下属期刊,而且他本人就是这本期刊的主编。这本期刊创办于1964年,由欧洲数学学会负责出版,不是一本顶级数学期刊但也确实是有声誉的正规期刊。当然,没有规定说期刊不能发表自己人的文章,事实上学术期刊也都有一套避嫌流程处理这种问题,但这毕竟是一个利益相关,会让很多人怀疑审议过程的公正性,可能也不足以彻底扭转大家对望月新一的这个证明的印象。

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笔者听过这样的故事。有一天,格罗滕迪克说,弄开核桃壳有两个办法。一个办法是,把核桃壳用坚果钳子使劲一口气夹烂。另外一个办法是,把它浸入有很多很多水的水缸里,泡啊,泡啊,使劲的泡啊,然后它自己就泡开了。格罗滕迪克的数学属于后者。

破题

望月新一的研究领域,是所谓的“远阿贝尔几何学”。如果一句话解释这个领域的话,我只能这样写:

有理数的绝对伽罗华群,以至任意代数簇的平展基本群,它们“远离阿贝尔”的部分,也就是不符合交换律ab=ba的部分,会如何影响相应代数结构的性质。

看不懂这句话是正常的。要解释这个领域研究的是什么,可能需要整整一篇文章(可以参看

是的,对于望月新一的体系,我其实也只算理解基础,是数学界内部的吃瓜群众。但面对这个体系,很多数学家的境况并不比我好得多。包括菲尔兹奖得主陶哲轩,包括望月新一的恩师法尔廷斯,他们都抱怨望月新一的证明太简略太难懂。现在,懂得整个证明的,除了望月新一之外,据说只有十几个人,大部分在日本,其他在美国和法国。

但是,如果他是对的,那就意味着代数几何的重大革新。

  2002年,佩雷尔曼在一个张贴未正式发表论文的网站(arXiv preprint server)上贴出一篇论文,声称“勾勒了对这一猜想的综合证明的框架”。这时,佩雷尔曼所指的并不只是庞加莱猜想,而是范围更广的几何化猜想,庞加莱猜想只是几何化猜想中的一个特例。

那么,数学家们到底是怎么看待这个奇怪的证明呢?

克莱因曲面的模曲线

虽说这比喻可以说很精准,但拿望月新一和格罗滕迪克做类比并不好。是的,格罗滕迪克在20世纪60年代以革命性的方式“自下而上”的重构了数学。但是,从法国高等研究所(IHES)生产的思想迅速传遍了世界,抵达了巴黎大学、普林斯顿大学、莫斯科大学、哈佛大学、麻省理工学院、波恩大学,以及荷兰的一些大学等地的讨论班。本质上,格罗滕迪克学派20世纪60年代的成功并不是用IHES产出的定理来衡量的,而是它产生的思想完全改变了这个学科(以及相关学科)里的每一个人思考代数几何的方式。

一个人能够改变一个学科吗?

一个新的证明或者理论体系,给数学界带来重大影响,这并不是第一次。

大卫·希尔伯特也许是最重要的现代数学家之一,光是他在1900年提出的那23个数学问题就差不多贯穿了整个世纪。他的成名之作,那篇“终结了不变量理论”的论文,在当时就引起了巨大的争议。此前,不变量理论的大多数进展都基于具体的计算,需要给出具体的结果。这样的证明又叫构造性证明。但希尔伯特的证明不属此列,而分属“存在性证明”,能断言某个数学对象的确存在,但对于如何计算却绝口不提。他一开始投稿恰好碰上了当时的“不变量之王”哥尔丹。哥尔丹对这样的证明颇有微词,他的退稿评价是:

这不是数学,这是神学。

但最终希尔伯特幸得克莱因的保荐(“这无疑是这本杂志发表过有关一般代数的最重要的工作”),论文得以发表。正因为无需具体给出构造,存在性证明要比构造性证明要更为简洁有力,也因此逐渐被广泛接受。即使是一开始拒稿的哥尔丹,最后也承认了希尔伯特的工作,“即使是神学也有其价值”。希尔伯特之后也因为公理化的工作以及其他数学成就,跻身当时数学界的顶尖。

另一位为数学界作出巨大贡献的德国数学家康托尔,他的命运却大不相同。在研究傅里叶分析时,康托尔领会到无穷之后仍有无穷的无穷。他从最基础的集合论开始,建立了一个全新体系,描述了超越无穷的无穷,也就是超穷[songshuhui.net/archives/90745]。集合论中的很多基础结果,就出自他的手笔。

但他的研究甫一发表,就遭到许多顶尖数学家的攻讦。庞加莱说他的想法就像“严重的疾病”,正在感染数学这一学科。当时执德国数学界牛耳的克罗内克,公开反对康托尔关于超穷的理论,甚至到达了人身攻击的地步。他称康托尔为“科学骗子”、“背叛者”、“腐蚀了青年”,近乎偏执地指责着康托尔和他的理论。

但数学毕竟是数学。经过曲折发展之后,集合论成为了现代数学的基础,成了数学系学生的必修课。正是希尔伯特作出了这样的断言:

身处康托尔跟我们一道展开的天堂内,我们屏息于惊叹之中,知道无人能将我们由此驱逐。

可惜,康托尔本人的命运却远没有那么光明。也许是因为得不到理解,也许是因为这些无休止的攻击,康托尔患上了抑郁症,一直没有痊愈。他的晚年恰逢第一次世界大战,贫困加剧了战争带来的饥谨。心脏病给他的最后一击,也许是种解脱。

有好几个人把望月新一比作上一代的数学家格罗滕迪克。格罗滕迪克的遭遇处于康托尔和希尔伯特之间。他的数学风格高度抽象,但却能得出实际的结果。引用我之前写的:

他谈论的数学实在过于抽象,难以理解。但这就是格罗滕迪克做数学的风格:尽可能从数学对象中将不必要的细节抽象出来,抽象得一般的数学家都会以为剩下的只有“虚空”,然而他仍然能从“虚空”中抓住某些东西,从而建立他的理论,完成他的证明。用格罗滕迪克本人的说法,如果把数学问题比作坚果,大部分数学家做的就是用锤子和凿子把坚果凿开,而他的做法则是将坚果浸在水里,慢慢软化它的外壳,又或者让它经受风吹日晒,然后等待合适的时机,坚果自然就会裂开。

对于大部分数学家来说,这个过程太漫长,也许只有拥有深刻洞察力的格罗滕迪克,才能在能接受的时间内,用这种方法解决问题。这也是他的数学难以被理解的原因之一:他几乎不考虑具体的示例,都是从尽可能抽象的角度出发,思考支配某个数学问题背后的宏大数学结构。有时候这也会闹出笑话。有一次讨论数学的时候,有人向格罗滕迪克提议考虑一个特定的质数作为例子。“你的意思是找一个真实的数字?”格罗滕迪克有点疑惑。对方点了点头。他回答:“好吧,我们考虑57这个质数。”57当然不是质数,但格罗滕迪克大概没有注意这一点,他从来不考虑具体的例子,一切从抽象出发。

格罗滕迪克的这种风格,让他年纪轻轻就全套改写了代数几何所用的数学语言,给这个领域带来了全新的抽象思维方式,让代数几何成为数学中可能是最抽象最深奥但也最有力量的分支。他编写的EGA和SGA是代数几何的入门宝典,他的定理和想法,尤其是标准猜想,仍然留在众多代数几何学者的心头。

当然,新理论新证明被彻底摧毁的例子也比比皆是。在2004年,美国数学家路易·德·布朗奇(Louis de Branges)在自己的个人页面上贴出了一篇124页的论文,声称利用自己发展的基于希尔伯特空间的一套体系,证明了数论中最引人注目的黎曼猜想,跟望月新一的情况相当相似。因为德·布朗奇此前曾证明另一个著名猜想——比伯巴赫猜想(Bieberbach conjecture),所以也有人关注他的证明。但直至现在,论文经过多次修改,似乎仍然站不住脚。目前数学界普遍认为他并未能证明黎曼猜想。

不停有人提出新的想法,即使一开始不被接受,历经时间洗练,终将得到应有的评价,而数学也就此进步。虽然提出新想法的人,他们各自有需要承受的命运,不以他们的贡献为转移。这就是数学史。

而望月新一的理论,就是在当下展开的历史。他的理论是对是错,只能拭目以待。

  第一篇文章之后,佩雷尔曼又在网上发表了两篇论文。2003年春,他巡游美国,发表演讲介绍自己的工作,但此后从公众视线中消失。其他数学家只能费尽心力一行一行地梳理他的论文,填补细节并寻找论文在逻辑上的漏洞。

对大部分数学家来说,这篇论文无疑是反常的。论文使用的方法是望月新一这20年来自行发展出的一套数学理论,因此证明的实际长度等于500多页加上20年以来他在这个领域所发表的一系列论文之和,光是长度就已经让人头疼。一般来说,数学家读一篇新论文的时候都会先扫一遍找找“干货”,也就是在现有的数学语言下,能让人一下子就了解到的新颖的想法或者前人没想过的方向。但是数学家们并没有在望月新一的论文里找到这类“干货”。相反,整篇论文看起来都是原创的理论和缺乏范例的概念。常被拿来与之相比的佩雷尔曼在其证明几何化猜想的论文第六页就出现了新的思路,其他数学家们一看就知道这条路可能有戏。张益唐的论文也是在引理部分之后的第六页就有了干货,数学家们能迅速跟上他的思路而在短短几个月时间内就拓展出新的结果。但是望月新一的论文光是要入门就已经很是困难,本人和其他看懂了论文的数学家也给不出更容易理解的说法。

望月新一遇到的情况却有点不同。他已经在ABC猜想的证明工作上独自思考了20年,建立起了他称之为“宇宙際Teichmüller理論”的新世界,定义了各种前所未有的神秘术语,比如第一篇论文讲了“霍奇影院”(Hodge Theater)的构造,第二篇论文则引入了“外星算数全纯结构”(alien arithmetic holomorphic structures)。

betway必威官网手机版 3亚历山大·格罗滕迪克,德裔法国数学家。图片来源:subhankar-biswas/DA

抽象的极致

望月新一给他的体系起名为“宇宙際Teichmüller理論”(inter-universal Teichmüller theory),简称IUTT,有时候也省略对应“理论”的T,写成IUT。

他并没有特意发明这个略显中二气息的名字,这锅要由他的先驱格罗滕迪克(Grothendieck)来背,是他发明了Grothendieck universe这个数学对象。而universe这个术语可能还要追溯到更久远的集合论先驱,因为它对应着集合论中“所有集合组成的一堆东西”这个概念。是的,所有集合不构成一个集合,只能说成“一堆东西”,或者用“类”这个术语。幸好,中文对universe的标准翻译“全类”没有那么中二。用上这个翻译的话,中文可以写成“跨全类Teichmüller理论”。但为了原汁原味起见,我们后面还是用“宇宙”这个术语。因为,另一个universe的数学,总有些不一样。

有多不一样呢?

这里实在没有办法深入探讨望月的IUT理论,不过正好有一个合适的例子,是望月新一在此之前研究的一个最最基础的数学结构:p进整数。它并不在另一个universe,但你阅读它的感受,大概和数学家读IUT的感受类似吧。

p进整数是什么?对于数学家来说最快捷易懂的定义,就是:

对于素数p,$(mathbb{Z}/p^nmathbb{Z})_{n>0}$的投影极限

(懵了吗?我第一次看到这个定义时,一下子就读懂了——但是我读望月的论文,大概就是你现在的感受。)

p进整数有这样的一些特征(以p=7为例):

......30211045064302335342 是一个7进整数。你没看错,省略号在前面,而且它不是无穷。

可以对p进整数进行“正常”的加减乘除。

1/5当然不是普通的整数,但它是一个7进整数:1/5 = ......5412541254125412

0的绝对值是0,1的绝对值是1,但2、3、4……的绝对值也是1,直到7的绝对值突然变成1/7. 然后,8、9、10……的绝对值是1,14的绝对值是1/7,依此类推,直到49的绝对值变成1/49……

如果根据这个绝对值定义将所有p进整数看成一个空间,它里面每个三角形都是锐角等腰三角形,而如果取一个球体的话,球体中每一个点都是球心。

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betway必威官网手机版把加法与乘法结构拆掉再复原,却无人能识。图片来源:维基百科,作者Melchoir

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图片来源:维基百科,作者Melchoir

一个自然的疑问是:这都是什么玩意儿???

有这种疑问很正常,因为这属于抽象而反直觉的数学。对于数学工作者来说,这种绝对值的定义,恰好呼应了p进整数本身的定义。如果明白一开始那个一句话定义,那么现在这个“绝对值”的概念,就会显得顺理成章,甚至非此不可。这就是对数学概念的理解程度所导致的偏差。初看似乎不明就里的数学概念,一旦掌握了正确的思维方法,就会变得浅显易懂。

但这又谈何容易!数学是如此抽象,必须经过多年的学习,慢慢熟习它的思考方式,才能理解它的内容。

p进整数,以及它的推广p进数,不仅在望月新一以往的工作出现,事实上,它早已是数论中常用的工具。当年怀尔斯对费马大定理的证明也用到了p进数。望月新一此前发展的p进Teichmüller理论,则完全基于p进数,但p进数本身在这个理论中的地位,相当于高考数学中的自然数,只是最基础的砖石。

而望月新一的新理论,“宇宙際Teichmüller理論”,还要高出一个层次。

他觉察到,用p进数构建的理论仍然不足以抓住他想要研究的那个数论结构,于是他另辟蹊径,找到一个已经证明必定能抓住那个结构的数学对象,然后构建起新的数学理论,研究这个对象的性质,从而导出他寻找的性质。这大体就是宇宙际Teichmüller理论的发展动机之一。

要构建这样的理论,需要同时用到远阿贝尔几何与表示论的工具,然而这两者格格不入,难以调和。为了折中,望月新一需要将理论的基底,也就是最基本的运算,拆成加法和乘法两部分,将它们消解为更复杂更抽象的结构,通过这些结构的互动和变形得到想要的性质,最后证明这些结构能够重新“復原”成某种加法和乘法。

betway必威官网手机版把加法与乘法结构拆掉再复原,却无人能识。在互动和变形的过程中,他要在不同的宇宙(universe、全类)间游走,才能得到足够广泛而一般的结论。加法和乘法结合起来会碰到的障碍,对于它们消解而成的结构却不成问题,当然前提是通过恰当的变形,就像不同坐标系之间的变换。这就是为什么望月新一要将他的理论称为“宇宙際Teichmüller理論”。顺带一提,消解后的加法和乘法面目全非,不像通常的加法和乘法那样基于同一套“数字”,而是形同陌路,望月新一的术语alien ring structure就由此而来。这里的alien,并不是什么“外星”的意思,而是取拉丁语alienus的原意“属于他人、非自身、外来、奇怪”之义。很多地方写的什么“外星算术全纯结构”(alien arithmetic holomorphic structure),都曲解了望月新一的本义。

看不懂?很正常。我自己的主要的研究领域是组合数学,虽然跟通常的Teichmüller理论有那么一丁点关系,但对于一般的代数几何我也没有正式学习过,所以只能在这里描绘它大致的图景。

但这就是现代的数学。它研究的内容如此广泛如此深入,一个分支上的数学家已经难以理解另一个分支的前沿,更何况是代数几何这一最抽象的领域中耕耘的人特别少的分支远阿贝尔几何,它的最前沿的推广呢?更何况这个理论是如此抽象,处理的又是如此根本的数学结果。可以说,拥有足够的知识储备,有充足时间能够理解并审查望月新一理论的数学家,即使不能说屈指可数,也很可能不超过100人,这还是相当乐观的估计。

望月新一本人这样说过,他的理论在数学界的处境,就像数学本身在整个社会中的处境:过于抽象,以至于人们不愿意去钻研和理解。

  佩雷尔曼论文的出现让一小部分数学家震惊不已,他们认为这表明庞加莱猜想可能已经获得证明。约翰·摩根(John Morgan)是美国纽约哥伦比亚大学的拓扑学家,最近,他和别人合作发表了分析佩雷尔曼工作的论文。他说:“我完全相信佩雷尔曼已经证明了庞加莱猜想。”

除此之外,望月新一和埃尔德什这种热爱东奔西跑的数学家不同,他对出国非常抗拒。一般人做出大成果之后会首先接受各地大学或者研究所的邀请巡回演讲一番。而望月新一虽然在美国留学过,英语也很流利,但是始终宅在日本京都。他在日本做了若干次讲座,拒绝了所有出国的邀请,这也影响了他的论文被更多人所理解(事实上最先理解他思想的就是和他同在RIMS研究所的同事与学生)。同时他深知自己理论并非朝夕之功就能理解,表示“要想正确地对外报道我的研究,需要深厚的知识和理解。”,因此也非常排斥时长通常只有一两个小时的演讲与根本不了解数学的媒体采访,觉得是浪费时间。

代数几何和数论领域的大多数资深数学工作者都认为,望月的理论过于玄妙,不值得花上几年时间去仔细阅读,弄清楚新定义的术语、推理的脉络和理论的结构。诚然,最坏的可能是,到头来大家发现这个新理论把自己绕进了死胡同;当然,最好的结果是,望月的证明建立起了新的数学分支,将代数几何和数论统一起来。

这不是对某人个人癖好的吐槽,也不是抱怨某些人不按“体制”的规则出牌。佩雷尔曼更加直接地拒绝学术界的传统,干脆就只是把他的论文贴在arXiV上,然后一走了之(补充:虽然佩雷尔曼从来没有正式提交论文,但他确实举办了漫长的巡回讲座,让他得以接受其他专家的咨询)。但最终的结果是,在数学里,思想是永远的胜利者。人们可以读到佩雷尔曼的论文,能在文章中感知到他所有的思想(五年内,大量专家补充了原始证明里略过的完整细节,并陆续发表)。通常情况是,如果数学领域里有突破性发现,当其他数学家能利用这个新的思想证明其他领域的定理的时候,这个标志性的事件会引起学术成果爆炸式的增长。而且,这些新成果的方向多半出于理论原本发现者的意料之外。但这样的事情,很明显并没有在ABC猜想的证明上发生。这个事实本身,就是人们心存疑虑的最有说服力的原因之一。 

理论的渗流

虽然难以理解,但新理论的确有其吸引力。望月新一本人在代数几何这个领域早已名声在外,他在1996年就证明了格罗滕迪克提出的一个有关远阿贝尔几何的猜想,还因此被邀请在1998年的国际数学家大会上作45分钟演讲。既然他之前的工作证明了他有如此能力,那么他的新工作当然也值得认真对待。何况,望月新一宣称他的新理论能够用于证明数论中悬而未决的ABC猜想,这就更让人期待了。

有些数学家被新理论所吸引,花了大量时间研读,自觉理解了箇中真谛,成为了给新理论摇旗呐喊的人。

有些数学家同样被新理论说吸引,花了大量时间研读,但感觉还是解释不清,难以理解。

有些数学家对新理论有兴趣,但没有时间研读,只能交给别的专家。

有些数学家不懂这个分支,只能围观。

望月新一的“宇宙際Teichmüller理論”(IUTT),就这样将数学界分成了两大阵营:觉得自己读懂的,还有觉得自己没懂的。围观群众不在此列。

觉得自己读懂了的数学家,他们在积极地宣传这个理论,想让更多的人理解它。伊万·费先科就是其中一员。近年来,在世界各地召开了数次讨论IUTT的研讨会,费先科有不少牵线搭桥之功。他和其他数学家也撰写了不少介绍IUTT的文章和综述,试图用不同的视角来讲述这个理论。

觉得自己没有读懂的数学家,有的仍在努力研读,有的尝试用自己知道的数学方法来从侧面验证IUTT的正确性;也有的已经放弃,转而对IUTT的正确性产生了怀疑。

每个新理论都会经历这个阶段,这个等待验证的阶段。只有经过这个阶段,等到大部分专家接受它的正确性,新理论才算是正式确立,数学也得以进步。

只是,对于IUTT来说,这个阶段似乎太长了一点。

同样是代数几何中的新突破,另一位数学家彼得·索尔策(Peter Scholze)在2011年前后提出的perfectoid空间,很快就被数学界所承认,证据就是他从2012开始获得的一系列殊荣。要知道,他提出这个理论的时候还只是博士生,但在2012年答辩之后,没过多久就被母校波恩大学重新聘请为教授,以24岁的身份创下了德国史上最年轻教授的记录。熟悉德国教育系统的人,会更感叹他的成就,因为在德国,教授的地位很高,聘请的条件也因此非常苛刻。这更凸显了他的成就。

那么,索尔策和望月新一,两人的理论为何遭遇迥异?

索尔策的理论处于代数几何研究的主流,能理解的专家人数比较多,而望月新一的理论则不算主流,专家也比较少。有时候人多人少,也能决定理论被接纳的速度。索尔策的理论包含的新意,很快就能被读懂并应用到新的问题上;望月新一的IUTT则是全新的系统,略有格罗滕迪克的遗风,看起来波澜不惊,但结论出人意料,需要吃透整个系统,才能判断最后的证明是对是错,但过于浑然一体,也让别人难以进行旁敲侧击式的验证,偏偏这种验证也正是考验新理论最快的方法。

对于望月新一来说,这些都是非战之罪。虽有忮心,不怨飘瓦。

但望月新一自身也并非毫无责任。对于现代数学家的标准而言,他的个性也稍有乖张之处。即使他曾经在美国生活过,在回到日本之后,他就很不愿意到海外与其他数学家交流。他并非不乐意交流,证据就是在2016年的一次IUTT研讨会上,他曾通过视频通话接入会场,为与会数学家解答一些疑难问题。而他窝在京都长时间自己捣鼓这一套理论,也不是数学界通常的做法。一般来说,数学家至少会跟同一个实验室的同事讨论相关问题,在讨论之中,可以获得更多灵感,也能借此检验理论是否正确,或者投石问路,看看是此路不通还是大有可为。上一个口风像望月新一那么严的,还是证明了费马大定理的怀尔斯。当然,数学家经常开学术会议互相交流,少不免走漏风声。我当然不知道望月新一有没有跟同事讨论,很可能有但是同事的保密工作做得很好,也许没有但这个可能性很低,又或者关注远阿贝尔几何的人实在少。但结果就是,当这个证明出现之时,人们毫无心理准备。

另一个可商榷之处,就是他在公开他的理论时,没有选择数学界一般会使用的预印本网站arXiv,而是直接放到了自己的个人页面上。当然,论文放到什么地方,这是他的自由,但也使数学界不能及时了解他的理论。不过话又说回来,这项工作引起的轰动,也很快让他的论文为数学界所知,所以其实问题也不大。

可以说,他的个性或者说偏好,在客观上的确阻碍了他与同行之间的交流。

结果就是,现在即使接受IUTT的专家越来越多(对于一个相对冷门的领域来说,十几个专家不算少数),但这些专家相当一部分是望月新一在日本的同事,还有过从稍密的同行。当然,也有相对独立的学者认为他们同样搞懂了望月新一的证明,但人毕竟也会犯错,很多旁观的数学家认为,现在认同的人数还不够多。

数学这门学科虽然有无可辩驳的逻辑作为守门人,但它仍然是一种人类活动。新理论无论是对是错,总要有足够的人承认,才得以确立。确立后的理论也不一定正确,确立后被推翻的证明虽不多,但也有。只有当大部分专家都理解了这个理论,再也挑不出毛病,从而站到了“自认为懂”的阵营里,甚至能由此生发出新的结果,理论才算真正确立。没有相应专业知识,或者不肯花时间的人,都只是局外人,没有权利对理论的正误说三道四。

但事情毕竟在进展。据说,目前IUTT的四篇论文中,前两篇构建的体系已经被许多专家认为成立,即使是那些觉得没有读懂整个证明的专家。目前争议的焦点之一,在于第三篇论文的推论3.12,也就是Szpiro猜想的证明关键。Szpiro猜想能推出ABC猜想,也难怪大家特别关注这个推论。据说,在之前的版本,推论3.12的证明只有几行,语焉不详,但我看到的几天前(2017-12-14)的新版本中,望月新一加上了好几页的注解。我只能希望这些注解能消除某些专家的疑惑。

在伊万·费先科(Ivan Fesenko)的“科普”文章里提到,在关于望月新一证明的讨论中,有一个词经常被提到,就是“復原”。在望月新一构建的崭新数学体系中,他将同时附着在“数字”之上的加法结构和乘法结构拆开,将两者各自变形,然后重新“復原”。这种做法,先从根本上消解,之后再““復原”,即使对于久经抽象推理沙场的数学家而言也相当奇怪。而望月新一的体系,正系于这种“復原”的可行性。

如果他的体系是正确的,如果他的“復原”是成功的,这将带来数学中代数几何分支的变革。比如说,ABC猜想的证明。比如说,最终理解加法和乘法之间的关系。但现在,没多少数学家能读懂他的证明。无论证明是对是错,也许数学界,至少是代数几何,恐怕难以复原为以前的面貌。他的体系,他的证明,已经将数学家拆开成不同的阵营,阵营内部不断发酵变化,引出了新的分歧。即使最后尘埃落定,得到的恐怕也只是望月新一式的“復原”。

但这就是数学前进的必经之路。

  美国耶鲁大学的数学家布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)则这样感叹佩雷尔曼的工作:“对研究拓扑学的人来说,整个地貌完全改变了,就像在一场地震之后醒来一样。”

但是另一方面,望月新一又绝非凭空出世的学术新人,他有出色的学术履历、优秀的师承(算术几何方向的专家、菲尔兹奖得主格尔德·法尔廷斯是他的博士导师)以及坚实的研究成果,在数学界的学术信誉相当好,绝对不是民科;并且看懂了论文的少数数学家也并非泛泛之辈。因此人们相信他是一个有可能开辟崭新领域的人。

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betway必威官网手机版 7格里高利·佩雷尔曼,俄罗斯数学家。图片来源:wikipedia

后记

我一直觉得,写这篇文章的不应该是我。我做的是组合数学,代数几何只是外行,虽咨询了比我更懂的同事,但还是不敢说对它有足够的理解。

但了解更多的人在哪里?

我理解他们。这毕竟是一个高度抽象的学科,要向研究方向不同的同事解释尚且很有难度,更何况向一般人解释。

这也许也是望月新一不喜欢媒体的理由。媒体肯定不懂他的理论,只知道这可能是一个重大突破,可以搞个大新闻。但这些媒体何尝愿意了解他的理论?写成报道,焦点多半在个人的私生活上,要么就是各种八卦。看的人是很多,但看完之后,给人们又留下了什么教益?

但这个事情毕竟不能不做。正如他的新理论也需要知音来帮助宣讲,数学本身也要靠科普才能传播,人们才会认识到数学的重要性,而不是问出“微积分有什么用,又不能买菜”这种问题。怀有恶意的媒体固然会断章取义,但让更多人更了解数学的美妙也是件好事,值得再三权衡。

这篇文章,由于本人知识所限,难免有许多疏漏,权当抛砖引玉。希望与远阿贝尔几何关系更密切的专业人士,能写出更深入准确的文章,让大家分享数学最前沿的这一大事。

(编辑:Ent)

参考文献

  1. Ivan Fesenko, Fukugen, Inference Review,
  2. Mochizuki Shinichi, Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters,
  3. Mochizuki Shinichi, The Mathematics of Mutually Alien Copies: From Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmüller Theory,  

  美国克莱数学研究所曾在2000年5月将庞加莱猜想和黎曼猜想等并列为七大数学世纪难题,并为破解每道难题悬赏百万美元。《自然》杂志的文章指出,目前已经有3篇文章认为佩雷尔曼有关庞加莱猜想的证明是正确的。如果在经过2年的严格审查后仍然立于不败之地,那么佩雷尔曼至少有资格分享克莱数学所高达百万美元的奖金。

两相矛盾之下,更多的数学家仍然处在一种僵持状态,不知道是皇帝真的没穿衣服还是自己漏看了些什么东西。他们一方面在积极地参加关于这套理论的讨论会,另一方面还是正常研究其他课题。

望月论文中宇宙際Teichmüller理論的定义和数论中传统概念的比较

现在这些论文似乎要被PRIMS接收了(这是望月新一自己当主编的杂志,这事本身不是什么大问题,但依然有碍观瞻)。论文被接受这一事实,对于说服人们接受这一证明而言并没有什么作用。如果说审稿程序有什么意义的话,那么它的意义不仅仅是使人对文章的正确性产生合理的信心(不是绝对的确信,发表的文章也会有错误,但这些错误多数是小错,要么是有学识的读者自己就能立刻纠正,要么是一个勘误声明就能解决,很稀少的情况下才需要撤稿)。同样重要的意义是,它迫使作者把自己的文字清晰程度提升到合理的标准,足以让其他专业人士阅读(这样的好处之一是,读者就不需要花审稿人那么多的时间来读这篇文章)。

  但令人备感神秘的是,佩雷尔曼行为与常人迥异,他不仅只是在网上而不是在期刊上正式发表他的论文,而且证明也极其简略。他自己也承认,他的工作只给出了证明的概要,文章非常难懂。克莱纳说:“佩雷尔曼的文章与期刊上发表的文章在风格上大不相同。”

话说回来,就算没有审稿公平性的担忧,论文发表这一行为本身恐怕也对僵局没有多少帮助;即使现在有人从未来穿越回来说证明是对的,数学家们也仍然需要花时间研读这套理论并思考更容易理解的讲述方式。谢天谢地,数学界关于这篇文章的交流确实有所进展:2015年,在牛津举行了关于望月新一的IUT理论(也即他证明abc猜想使用的理论基础)的第一次讨论会,望月的学生山下刚和星裕一郎去做了报告,他本人则是通过skype参与了问答。这次讨论会把绝大多数人都搞晕了。而次年在京都的讨论会望月新一出席了,反响大大好于之前的牛津讨论会。从这两次讨论会才开始学习理论的Taylor Dupuy甚至已经开始组织自己的讨论会。如上所述,这类从IUT理论的背景知识开始学习,到目前为止已经能大致了解这篇论文的人根据坊间传闻有12个——从增长率上看,这个数字已经相当不错了。两次讨论会的主办人数学家Ivan Fesenko更是认为京都会议非常成功,在望月论文上认真下功夫的学者必有所获。

ABC猜想到底在猜测什么?

果壳的读者们,你们即将经历数学中最为抽象、仿佛起源于虚无的数论和代数几何的结合体。这里的理论无法用图示去说明,是在把解方程这件事情综合分析得出“对称”、“互质”之流的结构之后,进一步抽象得到的结构的结构。

简单来说,就是有3个数:a、b和c =a b,如果这3个数互质,没有大于1的公共因子,那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的d,看似通常会比c大。举个例子:a=2,b=7,c=a b=9=3*3。这3个数是互质的,那么不重复的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。大家还可以实验几组数,比如:3 7=10,4 11=15,也都满足这个看起来的规律。

但是,这只是看起来的规律,其实居然存在反例!著名的ABC@home 网站 就在用分布式计算寻找ABC猜想的反例,其中一个反例是3 125=128:其中125=5 3 ,128=2 7 ,那么不重复的质因子相乘就是3*5*2=30,128比30要大。

事实上,很容易证明,能找到无穷多的这样反例。

不过我们还是可以挽回颜面猜想,d“通常”不比c“小太多”。怎么叫通常不比c小太多呢?如果我们把d稍微放大一点点,放大成d的(1 ε次方),那么虽然还是不能保证大过c,但却足以让反例从无限个变成有限个。

这就是ABC猜想的表述了。

听起来好像不如以前我们知道的数论中的猜想那样精确直观。比如费马最后定理:a n b n = c n ,当n大于等于3时就没有整数解了。又比如哥德巴赫猜想:一个数一定表示成两个质数之和。ABC猜想不但涉及加法(两个数之和),又包含乘法(质因子相乘),接着还模糊地带有点乘方(1 ε次方),最坑爹的是还有反例存在?这实在有点山寨——如果你这样想,那就太小瞧这个猜想了。实际上,除了尚未解决的涉及多个数学分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外,与ABC猜想的影响力相比,其他数论中的猜想,诸如哥德巴赫猜想、孪生质数猜想,以及已经解决的费马最后定理,都只能算是战斗力只有5的渣滓。

而这一点在这篇论文上完全失败了,这不得不令人质疑审稿工作的质量如何,还有PRIMS编辑委员会如何能允许论文以这样不可接受的、被广泛认为不透明方式发表。那么,我们会进入一个荒唐可笑的情形——ABC这个命题在京都是定理,但在其他地方都是猜想。(补充:一位日本读者向我指出,报纸并没有确定地说论文已经被接收,用的是“按计划论文会被PRIMS接收”诸如此类的措辞。这也不会改变本文的实质内容,只不过还存在论文不会以现有方式被接收的可能性,如果那样的话,我收回对PRIMS编辑委员会的批评。)

  他人的肩膀

数学界对这篇论文下结论的时刻或许很快就会到来,但还不是现在。我们需要更长的时间去等待,或许,我们可以见证数学界一个全新理论建立的全过程。(编辑:Ent)

ABC猜想为何如此重要?

首先,ABC猜想,对于数论研究者来说,是反直觉的。

历史上反直觉的却又被验证为正确的理论,数不胜数。一旦反直觉的理论被证实是正确的,基本上都改变了科学发展的进程。举一个例子:牛顿力学的惯性定律,物体若不受外力就会保持目前的运动状态,这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。“物体不受力当然会从运动变为停止”,这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。而实际上,这种想法,在任何一个于20世纪学习过初中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看,都会显得过于幼稚。但对于当时的人们来说,惯性定理的确是相当违反人类常识的!

ABC猜想之于现在的数论研究者,就好比牛顿惯性定律之于17世纪的普通人,更是违反数学上的常识。这一常识就是:“a和b的质因子与它们之和的质因子,应该没有任何联系。” 原因之一就是,允许加法和乘法在代数上交互,会产生无限可能和不可解问题,比如关于丢番图方程统一方法论的希尔伯特第十问题,早就被证明是不可能的。如果ABC猜想被证明是正确的,那么加法、乘法和质数之间,一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。

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质数螺旋

再者,ABC猜想和其他很多数论中的未解问题有着重大联系。

比如刚才提到的丢番图方程问题、费马最后定理的推广猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想,等等等等。而且,ABC猜想还能间接推导出很多已被证明的重要结果,比如费马最后定理。从这个角度来讲,ABC猜想是质数结构的未知宇宙的强力探测器,仅次于黎曼猜想。

其次,我们来看望月用了什么数学工具来解决ABC猜想。

望月开始埋头研究ABC猜想的证明时,距猜想提出不过10年,而且几乎没有任何进展,望月可以说是几乎从零开始的。之所以说 “几乎”,是因为望月20多岁时,在“远阿贝尔几何”[1]领域中作出过超卓贡献,还被邀请到4年一届的国际数学家大会上演讲。然而,1988年柏林的数学家大会结束之后,望月就从学术界消失,潜心于他自己的宇宙去证明ABC猜想了。他用的理论工具,正是“远阿贝尔几何”。

可以说,望月证明ABC猜想的目的之一,就是要把远阿贝尔几何发扬光大。远阿贝尔几何这个数学分支,由代数几何教皇格罗腾迪克于上个世纪80年代创建,研究对象是不同几何物体上的代数簇的基本群的结构相似性。

在富有传奇色彩的丽沃夫咖啡馆,近代分析学之父巴纳赫说:“数学家能找到定理之间的相似之处,优秀的数学家能看到证明之间的相似之处,卓越的数学家能察觉到数学分支之间的相似之处。最后,究级的数学家能俯瞰这些相似之处之间的相似之处。” 格罗腾迪克,便落入了巴纳赫分类的究级数学家之列,远阿贝尔几何便是一门研究“相似之相似”的数学分支: 16世纪,的卡尔达诺研究3次方程求根;19世纪,伽罗瓦发现特殊高次方程解的群结构;代数几何中的代数簇,则是一大类方程的公共解;代数簇的基本群,则是对于已经综合了一大类理论的代数簇理论的再一次综合,关心什么样的结构独立于几何物体的代数簇的表象之外。

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球射影空间上的代数簇

于是乎,对于数学家来说,检查望月的证明是否存在错漏的另外一个难题就是:要透彻理解望月那512页的ABC猜想的证明,需要先弄懂望月关于远阿贝尔几何的750页的著作!全世界总共只有约50名数学家在这方面有足够的背景知识去通读望月这本远阿贝尔几何著作,更别提望月在证明猜想中建立起来的“宇宙際Teichmüller理論”了。目前为止,自称“宇宙際幾何學者”的望月,是他自己创造出的宇宙中的独行者。

之前提到的望月的好友、牛津大学教授金明迥说:“读证明,对数学家来说,也是非常痛苦的。说服大多数代数几何学者去阅读需要如此之多基础知识的证明,更是一件难事。” 当然,这并不代表没有数学家在检查望月的证明,2012年10月,斯坦福大学教授Akshay Venkatesh函至望月,指出第3篇和第4篇论文中的错误。望月也迅速答复,承认了错误,并说明该错误对整体理论并无影响。

证明发表之后,怀疑之声不绝于耳。因为从直觉上来讲,ABC猜想如果被证明正确,对于数论的影响之巨大,无异于相对论和量子物理之于现代物理学。有些人认为,要是ABC猜想被证明,世界就太美好了,仿佛身处幻境。

大多数数论工作者希望,望月能够就他的证明写出一个综述,将整套理论的逻辑脉络展现给大家,比如为什么要引入定理X和概念Y,怎么层层推进到最终猜想的证明。设立千禧年大奖的克雷数学研究所也在考虑邀请望月开办一个讨论班,邀请世界上最优秀的数论和代数几何学家参加,大家一同学习这个新理论。

不过,关于望月新一本人,他在发布证明之后拒绝了任何采访,而且他不喜好社交。在Google上搜索关于望月新一的背景介绍,中文链接中可读的,唯有卢昌海发布在他个人主页上的 文章 :“望月新一 1969 年 3 月 29 日出生于日本东京, 16 岁进入美国普林斯顿大学就读本科, 三年后进入研究生院,师从著名德国数学家、 1986 年菲尔茨奖得主法尔廷斯, 23 岁 (即 1992 年) 获得数学博士学位。 此后, 他先是 、‘海归’ 成了京都大学 数理解析研究所 的研究助理,几个月后又前往美国哈佛大学从事了近两年的研究, 然后重返京都大学。 2002 年, 33 岁的望月新一成为了京都大学数理解析研究所的教授。 望月新一的学术声誉颇佳, 曾获得过日本学术奖章等荣誉。”

关于望月的这种出世的行事方法,金明迥作出的评价是:“当你沉浸在自己的理论宇宙中太久,你会察觉不到他人对于你的理论的困惑,因为你先入为主地假设了所有人都明白很多基础知识。”

故事到此就告一段落了,大家都在见证历史。


 

本文编译自波士顿环球专栏文章: An ABC proof too tough even for mathematicians

 

[1] 远阿贝尔几何的英文是Anabelian geometry。在代数中,Abelian是可交换之意,字面意思加上前缀an,就是反交换几何,但和非交换Non-commutative研究的对象完全不同,望月称这为“遠アーベル幾何”,表达与交换几何中的研究对象相去甚远之意。

那么为什么这样的情况持续了那么长的时间?我想我能提出三点基本理由。

  但是,就像一座大楼的建设,前人与后来者永远都是彼此需要的关系。对于破解庞加莱猜想的世纪大厦,佩雷尔曼也不可能不借鉴别人的工作,甚至不得不直接借助别人的工具。而且,中国数学家在其中的贡献不容忽视。

望月新一对abc猜想的证明虽然难如登天,但abc猜想的描述本身并不难,有高中数学知识加上静心阅读就足以理解。所以我们把它附在这里:
对于一个正整数n,找到它的所有质因数,把它们乘起来,得到的数叫做n的根基rad(n)。比如,60的质因数是2、3、5,所以rad(60) = 30.
假如有三个互质的正整数abc,c=a b,那么c 通常小于rad(abc)。比如,a=2,b=7,c=a b=9,这三个数互质;那么,abc=126,rad(126) = 42, 42>9.
但注意,这是通常。数学家找到了很多反例,事实上能很容易找到无穷多的反例。
数学家猜想,如果把rad(abc)变大一点点,变成rad(abc)^(1 ε) (它比1稍微大一点点次的幂),哪怕只有一点点,虽不能保证一定大过c,但足以让反例的个数从无穷变成有限。
这个猜想,就是abc猜想。

第一,数学家通常是非常小心翼翼的(就像那个笑话说的——苏格兰的绵羊至少有一面看上去是黑色的)。因为数学家们不能指出望月新一证明的实质性错误,所以他们非常不愿意去声明这个证明有问题。于是,他们倾向于在提出负面观点的时候高度谨慎(这确实很合理)。我们成长为数学家的历程中,如果听不懂别人的证明过程,通常会觉得这是我们自己的问题。

  据《自然》杂志的报道,为证明猜想,佩雷尔曼使用了一个名为“瑞奇流”(Ricci flow)的数学工具,它是由哥伦比亚大学数学家理查德·汉密尔顿创立的一种新方程。佩雷尔曼曾在位于莫斯科的Steklov研究所工作,在那里他通过“瑞奇流”研究变形的表面,并发现了解决某种特殊问题的方法,从而进一步发展了“瑞奇流”。

P.S. 最后我们说点望月新一这个人的八卦:

第二,无论何时,数学家一旦做出一个特别的声明,大家开始的反应都会去看这位数学家之前的工作。这个例子里,望月新一曾经在重要领域做出过成果,而且被很多认识他的人认为是一位很聪明的数学家。的确,一些默默无闻的人(比如最近的张益唐就是一个例子)声明自己证明了某个重要的结果,他的文章也会被认真对待,但是,如果类似不知名的人以望月新一的方式放出一个1000页的论文,他立马会被忽视。

  今年6月16日,汉密尔顿在北京中国科学院晨兴数学中心谈到庞加莱猜想时指出,最早提示自己可将“瑞奇流”用来证明庞加莱猜想的,正是华裔数学家丘成桐。而佩雷尔曼也正是借助“瑞奇流”在证明庞加莱猜想中获得“重大突破”。

·望月新一是个宅,虽然不如佩雷尔曼那种完全躲起来那么极端,但还是很宅……他的宅属性严重影响了他的理论的传播,最初只有他的学生搞懂了这个理论,多亏他学生去参加牛津大会才慢慢开始传播到国外。

最后一个理由和前两条形成对比:有一些人很愿意站出来说一切都没问题,说那些怀疑的人只是没有做足功课去理解宇宙际几何的基础。我没兴趣去揣测这些人为什么这样做。但是,说一个理论至少需要几百小时的钻研才能入门,这种观点要么是彻底扯淡,要么是和日常的学术经验差出十万八千里,以至于不但在数学里,在全部科学里都是前无古人的。 
 
那么,事情会怎么发展?这里有很多种可能。一种可能是某位专家深度检查了论文,并能抽出论文的核心思想,然后对论文进行重大的简化,让它更容易读懂,从而改变整个话题。这是论文刚公开时的理想剧情,但一天一天地(一年一年地),这个可能性变得越来越小。但可能性仍然存在。与之相对的可能是,某位专家找到了一个严重的错误,用相反的方式来了结这个事情。第三种可能是,这个状态一直持续下去:没有“恩赐解脱”来杀死这个路线,但学界共识还是大家无法理解论文的关键思想。(应该说的是,论文是否被某个杂志接收和此基本上毫无关系;光是有人作证说“我读了这个论文,它没毛病”是不够的,还必须有人来能把它解释给别人听。)这种情况下,数学界只会继续前行,直到很久以后——一年、十年、甚至一百年之后——终于有个人真的证明了ABC猜想,那时候我们才终于能回头去看,证明所用的想法是不是一直在这些论文里。

  中国数学家的贡献

·他在京都大学的个人主页上有个页面叫“望月新一の安否確認情報”,此刻最新一条是“17年12月12日の6時現在、健在であることを記している。”对于一个宅而言这真是非常实用的功能……另一方面,也许此刻他已经死了十多天了没人知道(划去)

陶哲轩在本文评论区的回复: 
betway必威官网手机版, 
感谢博主的文章。我没有足够的专业知识去对望月新一的论文做一手的评价,但是对于你文章中提到张益唐及佩雷尔曼的工作却更加熟悉。在我看来一个显著的区别在于,张益唐与佩雷尔曼的工作里有着一些较短的“概念证明”陈述,即用论文里方法能很快得到现有领域里一些有价值的新的不平凡结论(或是发展出一些已有的不平凡结论的新证明)。

  《自然》杂志的文章列举了三组“令人尊重的科学家”的论文,指出他们的工作填补了佩雷尔曼工作的细节,而中国数学家的贡献在其中占有重要的一席之地。

·过去5年间有研究者指出过证明里的个别小错误,望月本人也多次修订了他的论文,所以最初的那四篇论文现在已经是 186 174 155 87 = 602页了。

在佩雷尔曼的工作中,第一篇论文的第五页就已经给出了Ricci流的一个全新解释:它将Ricci流看成了梯度流,而这是一个看起来非常有前途的方法。在第七页,他就用该解释建立了一个关于Ricci流的“非拟周期性”定理,这个定理虽然要最后证明庞加莱猜想还远远不够,但它本身就是一个新奇且有趣的结果。这也是为什么这个领域的专家迅速认定这篇文章中有很多“好东西”的原因之一。

  第一篇:2006年5月25日,作者为克莱纳与密歇根大学的约翰·洛特(John Lott)和安·阿伯(Ann Arbor),论文张贴在预印论文网站(arXiv preprint server)上;第二篇:2006年7月25日,作者为摩根和麻省理工学院数学家田刚,论文张贴在arXiv preprint server网站上;第三篇:2006年6月,作者为美国里海大学的曹怀东和中国中山大学朱熹平,论文发表在当月出版的《亚洲数学期刊》上,论文声称彻底证明了庞加莱猜想和几何化猜想,而不仅仅只是充实佩雷尔曼的工作。《亚洲数学期刊》主编丘成桐认为,曹怀东和朱熹平使用了一些不同于佩雷尔曼的论点。

·一直有阴谋论称望月新一就是中本聪,比特币的发明人。阴谋论嘛我们就不鼓励了大家自己阴谋一下就好……

张益唐54页的论文中,花了更多时间阐述那些对专家而言是标准性的内容(特别地,这篇文章沿袭了解析数论界的传统,将所有后面要用到的引理一起作为一段漫长但直接的引子,都放在了文章的开头)。但是在所有引理都列完之后,张益唐仅仅用了6页,就做出了一个不平凡的观察:只要能改进Bombieri-Vinogradov定理对光滑模的估计,我们就能证明素数间距离有限。(其实这个观点此前也被Motohashi和Pintz独立地导出,但他们所导出的形式却无法被得心应手地运用在张益唐后面30多页的证明中)。这并不是张益唐论文中最深奥的部分,但是它却将原问题化为了一个看起来更容易处理的问题。相比之下,无数试图攻克诸如黎曼猜想这种大问题的论文里,作者都只是不停地在把问题转化得越来越难,越来越难,直到一个奇迹发生(也就是作者犯了错),突然间把问题变得简单了。

  《自然》杂志的文章说,这三篇文章的出现为佩雷尔曼获得菲尔茨奖的传言推波助澜。因为4年颁发一次的菲尔茨奖最多只授予4位年龄不超过40岁的数学家,而佩雷尔曼刚好在今年度符合这一资格。

·望月似乎不喜欢媒体,在自己网页上虽然有照片但严禁媒体使用照片,所以我们没法贴出来。不过,这是他学生山下刚的照片:

根据我读到和听到的信息,我的理解是,此刻在望月新一的论文里,最短的能在现有领域(非宇宙际Teichmüller理论)里获得一个非平凡结果的“概念证明”,就已经是证明abc猜想所需的300多页证明了。在我看来,如果有一个更短的概念证明(比如少于100页),那会很有助于消除人们对他的论证的怀疑。如果说有一整个自洽的理论体系,唯一的外部应用就是凭300多页的准备来证明abc猜想,而这些准备工作里却没有任何小片段能产生非平凡的外部结果,那在我看来这是件极为怪异的事情。

  但富有戏剧性的是,本年度国际数学家大会组委会已经邀请佩雷尔曼作大会报告,但至今仍未得到佩雷尔曼的回复。

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(编辑:Ent)

  2006年度的菲尔茨奖花落谁家?谜底将在数周后,也就是8月22日在马德里举行的国际数学家大会开幕式上揭晓,4000多位代表将见证这一非凡的历史瞬间。(王丹红) 来源:《科学时报》

吃瓜群众纷纷表示“这才是师父吧!”

译文授权转载自哆嗒数学网,有修改。

虽然……也可能是刚下山(划去)

 

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